【１】４次元の壁

　上の例からして，小生はどうも多胞体の複雑さを理解していないと思われるのだが，正則胞体に限ってみても，４次元となった途端，物事はいかにも複雑になる．

　４次元多胞体では，頂点，辺，面，胞の個数の間に，シュレーフリの公式：

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０

が成立する．これを高次元へ一般化したものがオイラー・ポアンカレの定理

　　ｆ0＝ｖ，ｆ1＝ｅ，ｆ2＝ｆ，ｆ3＝ｃ，・・・

であるが，４次元空間においては，点ｖは空間ｃと直線ｅは平面ｆと双対的に対応する．正多胞体の頂点数，辺数，面数，胞数を掲げる．

　　　　　　　頂点数　　　辺数　　　面数　　　　胞数

５胞体　　　　　　５　　　１０　　　１０　　　　　５

８胞体　　　　　１６　　　３２　　　　２４　　　１６

１６胞体　　　　　８　　　２４　　　　３２　　　　８

２４胞体　　　　２４　　　９６　　　　９６　　　２４

１２０胞体　　６００　１２００　　　７２０　　１２０

６００胞体　　１２０　　７２０　　１２００　　６００

　次の表で（ｐ，ｑ）の組合せを調べると，それぞれ５個の４面体がｆ3，８個の立方体がｆ3１６個の４面体がｆ3，２４個の８面体がｆ3，１２０個の１２面体がｆ3，６００個の４面体がｆ3である正多胞体であることを示している．

　　　　　　境界多面体　境界面ｐ　頂点に集まる面ｑ　辺に集まる胞ｒ

５胞体　　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　３

８胞体　　　立方体　　　　　４　　　　　　　　３　　　　　　　３

１６胞体　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　４

２４胞体　　正８面体　　　　３　　　　　　　　４　　　　　　　３

１２０胞体　正１２面体　　　５　　　　　　　　３　　　　　　　３

６００胞体　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　５

　また，この２つの表では，それぞれの詳細について，たとえば，正６００胞体（４次元正２０面体）は頂点数１２０，稜数７２０，正三角形数１２００で，６００個の正４面体状胞体が各辺のまわりにｒ＝５個ずつ集まっているという状況にあることがわかる．

　このことをすべての正多胞体について記すのはやめておくが，言葉で説明する（あるいはこれを描く）のは易しいが，これを理解するのがいかに難しいかわかるだろう．

　端的にいって，人間の直観や勘が働くのはたがだか３次元空間までで，次元が大きくなるに従い，格子点の配位は非常に複雑となり，われわれが３次元空間でイメージするものとは大きく異なってくる．すなわち，高次元では幾何学的直観が効かないので，多胞体は理解するのが難しい対象ということなのである．

　また，高次元では用語の問題も出てくるので注意が必要である．例えば，以下のような表現はどうなっているのだろう． 　「五次元以上のｄ次元の場合は，２ｄ個の頂点と２^d個の辺をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２^d個の頂点と２ｄ個の辺をもつ立方体，ｄ＋１個の頂点とｄ＋１個の辺をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしています．」

　この場合，頂点は０次元面ｆ0のことを指す用語であるから問題はないのであるが，辺というのは１次元面ｆ1のことではなく，ｄ−１次元面ｆd-1のことを指していることがおわかり頂けるであろうか？

　また，２次元面ｆ2ではなく，ｄ−１次元面ｆd-1のことを面と表現しているものもあるし，辺と稜を区別して，辺（edge）を１次元面ｆ1，稜（ridge）をｄ−２次元面ｆd-2と定義しているものもあるのでますます注意が必要である．

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