（その１０）では，ｎ次元双対立方体と正単体の輪郭線処理を行ったが，その際，

ａ）ｎ次元立方体（正２ｎ胞体）は，

　　頂点数：　２^n，

　　稜数：　　２^(n-1)ｎ，

　　四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）

からなっていて，各頂点のまわりにはｎ本の稜，ｎ（ｎ−１）／２個の正方形が集まっている．また，各稜のまわりにはｎ−１個の正方形が集まっている．・・・と書いた．

　頂点数をｆ0，稜数をｆ1，面数をｆ2で表すことにすると，稜の両端にはそれぞれ頂点があり，四角形は四辺形であるから，頂点まわりの稜数は

　　２ｆ1／ｆ0＝ｎ

頂点まわりの四角形数は

　　４ｆ2／ｆ0＝ｎ（ｎ−１）／２

稜まわりの四角形数は

　　４ｆ2／ｆ1＝ｎ−１

と計算されるというのがその根拠である．

ｂ）ｎ次元双対立方体（正２^n胞体）では

　　頂点数：　２ｎ，

　　稜数：　　２ｎ（ｎ−１），

　　三角形数：２ｎ（ｎ−１）^2／３

であるから，同様に，

　　２ｆ1／ｆ0＝２（ｎ−１）

　　３ｆ2／ｆ0＝（ｎ−１）^2

　　３ｆ2／ｆ1＝ｎ−１

より，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜がでる．各頂点のまわりには（ｎ−１）^2個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

ｃ）ｎ次元正単体（正ｎ＋１胞体）の場合，

　　頂点数：　ｎ＋１，

　　稜数：　　（ｎ＋１）ｎ／２，

　　三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６

である．これも同様に，

　　２ｆ1／ｆ0＝ｎ

　　３ｆ2／ｆ0＝ｎ（ｎ−１）／２

　　３ｆ2／ｆ1＝ｎ−１

と計算される．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでる．各頂点のまわりにはｎ（ｎ−１）／２個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

　　□ｆ2／ｆ1＝ｎ−１（超立方体）

　　△ｆ2／ｆ1＝ｎ−１（双対立方体・正単体）

より，いずれの場合も，各稜のまわりにはｎ−１個の面が集まっているものと思われたのだが，このことが輪郭線処理に際して問題になった．

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　問題点をもう一度説明しておきたい．

　ｎ次元立方体と正単体では１つの頂点からｎ本の稜がでる．そのうち１本の稜を定めると，その稜のまわりの（ｎ−１）面上で，いま描こうとしている稜に平行なｎ−１本の線を求めることができる．

　しかし，双対立方体では各頂点から

　　２ｆ1／ｆ0＝２（ｎ−１）

本の稜がでる．したがって，１本の稜を定めたとき，その稜のまわりの２（ｎ−２）面上で，いま描こうとしている稜に平行な２（ｎ−２）本の線を求めることができることになる．

　このことが，稜まわりの面数

　　３ｆ2／ｆ1＝ｎ−１

と矛盾するのではないか？　という点が問題となったのである．

　ｎ＝３では，両者は，

　　ｎ−１＝２，２（ｎ−２）＝２

と偶然一致するが，一般のｎ次元では合致しないことは明らかである．実際に数え上げていくと，双対立方体では２（ｎ−２）が正しいのであるが，なぜ一致しないのか，この原因についての理解を深めたいというのが，次回のコラムの狙いである．

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