高次元の図形については見て考えることができないので，２次元・３次元から類推して考えることになります．ところが，高次元の場合，奇妙なことが起こるので類推があてになりません．高次元の世界は，われわれが３次元空間でイメージするものとは大きく異なっているのです．

　さて，今回のコラムでは，ｎ次元双対立方体とｎ次元正単体を２次元平面に投影した際の混雑した稜線の中から輪郭線だけを抽出する方法について解説していきたい．

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【１】輪郭線処理

ａ）ｎ次元立方体（正２ｎ胞体）は，

　　頂点数：　２^n，

　　稜数：　　２^(n-1)ｎ，

　　四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）

から成っていて，各頂点のまわりにはｎ本の稜，ｎ（ｎ−１）／２個の正方形が集まっている．また，各稜のまわりにはｎ−１個の正方形が集まっている．

ｂ）１つの稜のまわりの正方形面上で，いま描こうとしている稜に平行なｎ−１本の線を求める．

ｃ）これらｎ本の平行線をそれぞれ２次元平面に投影した際の直線を含む３次元空間内の平面の，稜の始点（あるいは終点）におけるｚ値を求める．

ｄ）ｎ本の線のなかで，稜のｚ値が最大値，最小値の場合だけを表示するようにすれば，輪郭線だけを表示することができる．

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　ｎ次元双対立方体では

　　頂点数：　２ｎ，

　　稜数：　　２ｎ（ｎ−１），

　　三角形数：２ｎ（ｎ−１）^2／３

であるから，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜がでる．各頂点のまわりには（ｎ−１）^2個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

　ｎ次元正単体の場合，

　　頂点数：　ｎ＋１，

　　稜数：　　（ｎ＋１）ｎ／２，

　　三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６

である．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでる．各頂点のまわりにはｎ（ｎ−１）／２個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

　これらの情報のうち，輪郭線処理にとって本質的なのはどれだろうか？　いずれの場合も，各稜のまわりにはｎ−１個の面が集まっていることが共通しているので，当初は

ｂ）１つの稜のまわりの（ｎ−１）面上で，いま描こうとしている稜に平行なｎ−１本の線を求める． に引き続き，ｃ），ｄ）を実行すれば輪郭線だけを描くことができるはずであると思われた．

　ところが，それではうまく輪郭線を処理することができなかった．ちょっと考えればわかることなのだが，輪郭線処理にとっては，辺の周りに何面集まっているかではなく，頂点から何本の稜がでるかという点が本質的なのである．

　そこで，結論を述べると，

ｂ）各頂点から出るｋ本の稜上の点を始点として，いま描こうとしている稜に平行なｋ−１本の線を求める． と変更すればよいことがわかった．

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