【２】正単体

　線分，三角形，四面体（三角錐）はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形であるが，次元数ｎより１つ多い数の頂点によって作られる高次元図形を単体（シンプレックス）と呼ぶ．線分は一次元単体，三角形は二次元単体，三角錐は三次元単体とも呼ばれる所以である．

　ｎ次元正単体の場合，

　　頂点数：　ｎ＋１，

　　稜数：　　（ｎ＋１）ｎ／２，

　　三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６

である．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでて，すべての頂点を結ぶと単体ができあがることになる．

　ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．

　これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２

すなわち，

　　ｎｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１±√（１＋ｎ）｝／ｎ

が得られる．

　あるいは同じことであるが，頂点を原点に平行移動させ，ｎ個の頂点の座標を

　　Ｖ1（０，０，０，・・・，０）

　　Ｖ2（ａ，ｂ，ｂ，・・・，ｂ）

　　Ｖ3（ｂ，ａ，ｂ，・・・，ｂ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｖn+1（ｂ，ｂ，ｂ，・・・，ａ） とするｎ次元単体（ａ＞ｂ＞０）を考えることができる．ここで，各辺の長さが１であるとすれば

　　ａ^2＋（ｎ−１）ｂ^2＝１，２（ａ−ｂ）^2＝１

が成り立つので，これを解いて

　　ｂ＝｛√（１＋ｎ）−１｝／ｎ√２

　　ａ＝ｂ＋１／√２

を得ることもできるだろう．

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