R^2の正多角形は無限個ある．それに対して，R^3のなかの正多面体は５種類，R^4では６種類，５次以上では正（ｎ＋１）胞体（正４面体の拡張），正２ｎ胞体（正６面体の拡張），正２^n胞体（正８面体の拡張）の３種類しか存在しないことが知られている．

　すなわち，五次元以上のｄ次元の場合は，２ｄ個の頂点と２^d個の辺をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２^d個の頂点と２ｄ個の辺をもつ立方体，ｄ＋１個の頂点とｄ＋１個の辺をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしているのである．

　三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜正２４胞体，正１２０胞体，正６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいかと思われる．その意味で，３次元・４次元は特殊な次元なのである．

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【１】双対立方体

　ｎ次元立方体は，

　　頂点数：　２^n，

　　稜数：　　２^(n-1)ｎ，

　　四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）

からなっている．このうち，頂点は（±１，±１，・・・，±１）であるから，確かに２^n個あり，各頂点からはｎ本の稜がでるということがわかるだろう．この超立方体の稜の長さは２である．

　それに対して，ｎ次元双対立方体では

　　頂点数：　２ｎ，

　　稜数：　　２ｎ（ｎ−１），

　　三角形数：２ｎ（ｎ−１）^2／３

であり，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜，すなわち，ｎ＝３では４本，ｎ＝６では１０本の稜がでる．

　また，ｎ次元双対立方体の各頂点の座標は

　　（±１，０，・・・，０）

　　（０，±１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，±１）

で表される．

　例えば，６次元双対立方体の頂点が

　　（＋１，　０，　０，　０，　０，　０）

の場合，１０個ある稜の対蹠点の座標は

　　（　０，±１，　０，　０，　０，　０）

　　（　０，　０，±１，　０，　０，　０）

　　（　０，　０，　０，±１，　０，　０）

　　（　０，　０，　０，　０，±１，　０）

　　（　０，　０，　０，　０，　０，±１）

であり，稜の長さは√２である．

　もう１個ある頂点

　　（−１，　０，　０，　０，　０，　０）

との距離は２であり，これとは結ばれない．すなわち，中心を通るもの以外のすべての対角線を入れればよいことがおわかり頂けるであろう．

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