（その６）と同様の方法によって，オイラー・ポアンカレの定理から，より高次元の空間における正則胞体を定めることができます．合同な正多面体（ｐ，ｑ）の各面が２つの（ｐ，ｑ）に属し，各辺がｒ個の（ｐ，ｑ）に属すとしましょう．

（計量的証明）

　立方体（４，３）の２面角は直角であるから，１本の辺のまわりに４個の立方体で隙間なく空間を充填します．しかし，（４，３，４）では無限の多面体になってしまいますから，超立方体（４，３，３）は有限胞体になります．

　同様に，正４面体（３，３）の２面角は７１°より少し小さいので，１本の辺に３，４，５個の正４面体を置くことができます．→（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５）

　正８面体と正１２面体の２面角は，９０°と１２０°の間にあるので，１辺の周囲には３個の正多面体が置けます．→（３，４，３），（５，３，３）　正２０面体の２面角は１２０°より大きいので，このようなことはできません．

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

　結局，正多胞体の可能性としては（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５），（４，３，３），（３，４，３），（５，３，３）しかあり得ないことがわかります．

　これらを一般的な条件式として表すならば，正多面体（ｐ，ｑ）の２面角は，

　　２ｓｉｎ^(-1)（ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ））

このような角ｒ個の和が２πより小さくなくてはならないことから，

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）≦ｓｉｎ（π／ｐ）

すなわち，

　　ｓｉｎ（π／２−π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）

より，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

同様に，

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

が導かれます．

　なお，３次元空間充填であるためには，等式

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

が成り立たなくてはならないので，３以上の整数解は立方体による空間充填（４，３，４）だけなのです．

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（位相幾何学的証明）

　正多面体（ｐ，ｑ）を境界多面体として，その頂点数，辺数，面数を（ｖ1，ｅ1，ｆ1）としましょう．頂点に集まる辺の中点を結んでできる多面体を頂点図形：ｖ2，ｅ2，ｆ2）と呼ぶことにすると，それはｑ角形が１つの頂点にｒ面会した多面体（ｑ，ｒ）になっています．

　頂点数，辺数，面数，境界多面体の数を，それぞれＶ，Ｅ，Ｆ，Ｃで示すと　　Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝０ また，１つの頂点における境界多面体の配列は，頂点図形の面の配列に対応していますから，

　　ｆＣ＝２Ｆ，ｖＣ＝ｆ2Ｖ

　　ｖ2Ｖ＝２Ｅ，ｅ1Ｃ＝ｒＥ＝ｐＦ＝ｅ2Ｖ

　ｒＥ＝ｅ2Ｖ，また，１／ｅ2＝１／ｑ＋１／ｒ−１／２が成り立ちますから，

　　Ｖ：Ｅ＝１／ｅ2：１／ｒ＝１／ｑ＋１／ｒ−１／２：１／ｒ

同様に，

　ｐＦ＝ｅ1ＣよりＦ：Ｃ＝１／ｐ：１／ｐ＋１／ｑ−１／２，

　ｒＥ＝ｐＦよりＥ：Ｆ＝１／ｒ：１／ｐ

　Ｖ，Ｅ，Ｆ，Ｃを（ｐ，ｑ，ｒ）の関数として簡単に表す公式はありませんが，これでその相互関係は求まったことになります．

　　　　　　境界多面体　境界面ｐ　頂点に集まる面ｑ　辺に集まる胞ｒ

５胞体　　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　３

８胞体　　　立方体　　　　　４　　　　　　　　３　　　　　　　３

１６胞体　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　４

２４胞体　　正８面体　　　　３　　　　　　　　４　　　　　　　３

１２０胞体　正１２面体　　　５　　　　　　　　３　　　　　　　３

６００胞体　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　５

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