【５】オイラーの定理の応用

　正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類しかないことの証明は，いろいろと知られているのですが，次のような計量的なものが一番わかりやすいと思います．

（証明）

　正多面体の各面を正ｐ角形，各頂点にｑ面が会するとすると，頂点の周囲は４直角未満ですから，不等式

　　２ｑ（１−２／ｐ）＜４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　（ｐ−２）（ｑ−２）＜４

が正多角形となる必要条件です．このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．

　すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solod）とも呼ばれています．

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　ここで与えた証明は，すべての側面が正多角形であることを仮定していますが，オイラーの多面体定理を利用すると，

　　１）どの面も同数の辺で囲まれている．

　　２）どの頂点にも同数の辺が集まっている．

という仮定をするだけで，正多角形であるという仮定をまったくせずとも証明可能になります（位相幾何学的証明）．

（証明）

　多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ　　　（握手定理）

が成り立ちます．さらに，

　　ｖ＋ｆ＝ｅ＋２　　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちますから，

　　ｖ＝４ｐ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｅ＝２ｐｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｆ＝４ｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ）

となります．

　２ｐ＋２ｑ−ｐｑ＞０はｐとｑについて対称な式ですから，たとえば，ｐ≧ｑ≧３とすると，４≧２（１＋ｑ／ｐ）＞ｑ≧３より，ｐとｑの小さい方は必ず３，そこでｑ＝３とするとｐ＜６より大きい方は５以下であることがわかります．

　あるいは，同じことですが

　　１／ｅ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２

において，ｐ，ｑ≧３ですから，ｐもｑも３より大きいとすると，

　　１／ｅ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２≦１／４＋１／４−１／２＝０

これは不可能です．そこでｑ＝３とおいてみると，

　　１／ｅ＝１／ｐ−１／６

したがって，ｐ＝３に対してはｑ＝３，４，５の３つの値しかとり得ません．

　この式はｐとｑに関して対称ですから，ｑ＝３に対してもｐ＝３，４，５．

ｐ＝３かつｑ＝３の場合は一致していますから，５通りの可能な場合が得られたことになります．

　　　　　　　境界面ｐ　１頂点に集まる境界面ｑ　頂点ｖ　辺ｅ　面ｆ

正４面体　　　正３角形　　　　　３　　　　　　　　４　　　６　　４

立方体　　　　正方形　　　　　　３　　　　　　　　８　　１２　　６

正８面体　　　正３角形　　　　　４　　　　　　　　６　　１２　　８

正１２面体　　正５角形　　　　　３　　　　　　　２０　　３０　１２

正２０面体　　正３角形　　　　　５　　　　　　　１２　　３０　２０

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　　（オイラーの多面体定理）

より，３次元空間では頂点ｖと面ｆが双対的に対応しているのがわかります．

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