【２】４次元・５次元の正則胞体

　R^2の正多角形は無限個あります．しかし，R^3のなかの正多面体としては５種類，R^4では６種類，５次以上では正（ｎ＋１）胞体（正４面体の拡張），正２ｎ胞体（正６面体の拡張），正２^n胞体（正８面体の拡張）の３種類しか存在しないことが知られています．

　二次元における正多角形，三次元における正多面体と同じ概念が四次元における正多胞体で，正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６種類です．三次元の正多面体は５種類であり，五次元以上でも３種類しかないのに，四次元では６種類もあることは四次元の不思議ともいうべき事実です．

　二次元空間の正三角形の相当する三次元図形は正四面体，正方形は立方体，正五角形は正十二面体に相当しますが，４次元の正多胞体も三次元空間の正多面体に相当する図形です．

　　正５胞体　　　　（４次元正４面体）

　　正８胞体　　　　（４次元正６面体：超立方体）

　　正１６胞体　　　（４次元正８面体）

　　正２４胞体

　　正１２０胞体　　（４次元正１２面体）

　　正６００胞体　　（４次元正２０面体）

　正２４胞体に相当する３次元正多面体はありません．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからです．

　 　正２４胞体（２４胞，正３角形のみからなる９６面，９６辺，２４頂点）こそが，四次元特有の物体であると考えられるのですが，正２４胞体は，四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねてできますから，その意味で４次元版の菱形十二面体に相当します．

４次元空間の正多胞体

　　　　　　境界多面体　　頂点数　　双対性　　　　　　　　　３次元対応

５胞体　　　正４面体　　　　　５　　自己双対（非中心対称）　正４面体

８胞体　　　立方体　　　　　１６　　１６胞体と双対　　　　　立方体

１６胞体　　正４面体　　　　　８　　　８胞体と双対　　　　　正８面体

２４胞体　　正８面体　　　　２４　　自己双対（中心対称）

１２０胞体　正１２面体　　６００　　６００胞体と双対　　　　正１２面体

６００胞体　正４面体　　　１２０　　１２０胞体と双対　　　　正２０面体

　４次元多胞体では，頂点，辺，面，胞の個数の間に，シュレーフリの公式：

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０

が成立します．これを高次元へ一般化したものがオイラー・ポアンカレの定理ですが，４次元空間においては，点ｖは空間ｃと直線ｅは平面ｆと双対的に対応します．以下，正多胞体の頂点数，辺数，面数，胞数を掲げます．

　　　　　　　頂点数　　　辺数　　　面数　　　　胞数

５胞体　　　　　　５　　　１０　　　１０　　　　　５

８胞体　　　　　１６　　　３２　　　　２４　　　１６

１６胞体　　　　　８　　　２４　　　　３２　　　　８

２４胞体　　　　２４　　　９６　　　　９６　　　２４

１２０胞体　　６００　１２００　　　７２０　　１２０

６００胞体　　１２０　　７２０　　１２００　　６００

　なお，平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）ですが，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密規則的充填構造は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています．

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　五次元以上のｄ次元の場合は，２ｄ個の頂点と２^d個の辺をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２^d個の頂点と２ｄ個の辺をもつ立方体，ｄ＋１個の頂点とｄ＋１個の辺をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしています．

ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）

　　　　　　　　境界胞体　　　　頂点　　　双対性　　対応

（ｎ＋１）胞　　ｎ胞体　　　　　ｎ＋１　　自己双対　正４面体・５胞体

２ｎ胞体　　（２ｎ−２）胞体　　２^n　　　２^n胞体　立方体・８胞体

２^n胞体　　　　ｎ胞体　　　　　２ｎ　　　２ｎ胞体　正８面体・１６胞体

　正４面体，正６面体，正８面体の多次元への拡張はわかりやすいと思われますが，３次元空間の正１２面体，正２０面体，４次元空間の２４胞体，１２０胞体，６００胞体は，より高次元においては対応するものをもたないわけです．

　しかし，それよりも，三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つあるといったほうがわかりやすいと思われます．

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