ところで，線分と三角形および四面体（三角錐）は，それぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形ですが，次元数ｎより１つ多い（ｎ＋１）個の頂点によって作られる図形をシンプレックス（単体）と呼びます．線分は１次元単体，三角形は２次元単体，三角錐は３次元単体とも呼ばれます．この節で取り上げるのは，幾何学の基本形である三角形・四面体とその高次元幾何学についての問題です．

【問】辺の長さが２の正三角形に，その頂点を中心とする３つの単位円板を置くと，中にできる隙間には半径√３×２／３−１の円を入れることができる．さて，辺の長さが２の正四面体に単位球を４個置くと，その隙間に入れることのできる球の半径は？

（答）半径√６／２−１の球を入れることができる．

（ヒント）三角形の３つの中線は一点で交わります．この交点が三角形の重心です．原点Ｏに対する三角形ＡＢＣの３頂点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルをそれぞれａ↑，ｂ↑，ｃ↑とすれば，重心の位置ベクトルは（ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑）／３となります．三角形の形をした均一な板の重心は３つの中線の交点，すなわち重心にあります．この点（一様な三角形の重心）は３つの頂点の重心（ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑）／３，すなわち三角形の頂点におかれた３つの等しい質量の中心（物理的重心）に一致します．

　一方，四面体ＡＢＣＤの３組の相対する辺の中点を結ぶ直線は１点で交わり，この交点の位置ベクトルは（ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑＋ｄ↑）／４となります．三角形と同様に，一様な四面体の重心はその４つの頂点の重心（ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑＋ｄ↑）／４と一致します．一様な棒の重心は両端の間の距離を１：１に，三角形の重心は中線を２：１に，四面体の重心は頂点と向かいあう面の重心との距離を３：１に内分します．すなわち，四面体の重心は１つの面の重心から対頂点に引いた直線の１／４の点にあります．４次元以上でもこの規則性が失われることはありそうもなく同様に類推されます．三角形の重心の性質は四面体に遺伝するのです．

　ｎ次元の幾何学の例をもう一つあげると，三角形の面積は底辺かける高さ割る２ですが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．高次元の多面体ではこのようになることが知られています．

【問】ｎ次元単体では半径

　　　√｛２／（１＋１／ｎ）｝−１

のｎ次元超球が詰められることを示せ．

（ヒント）ベクトルを利用すると簡単に解答を与えることができる．

　　　　　n-1Ｈ2＝n+1Ｃ2，（√n+1Ｃ2）×２／（ｎ＋１）−１＝？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　上の問題の答は，ｎ→∞の極限でｒ＝√２−１になりますが，ところで，辺の長さが２の正方形に，その頂点を中心とする４つの単位円板を置くと，４つの円板で囲まれた部分に，第５の小さな円を入れることができます．ピタゴラスの定理によって第５の円の半径は√２−１だとわかります．これと同じことを３次元空間で行ってみましょう．辺の長さが２の立方体の８つのカドに単位球を８個置くと，中にできる隙間に第９の小さな球を入れることができ，第９の球の半径は√３−１となります．ｎ次元では半径√ｎ−１のｎ次元超球が詰められるのです．

　しかし，ここの驚きが潜んでいます．たとえば，ｎ＝９の場合，中に詰められるｎ次元超球の半径は√９−１＝２であり，この球は外側の立方体の表面に接してしまい，ｎ＞９だとはみ出してしまうのです．この驚くべき結論は，日常生活ではありえないだけに面食らってしまいます．

　球の詰め込みに関するこのはみ出し現象は，モーザーのパラドックスとして知られているものですが，このように，高次元はいくつかのパラドックスの源泉になっていて，しばしばたちの悪い現象が起こるのです．

　前述したｎ次元超球とｎ次元超立方体の関係についても考察してみましょう．ｎ次元ユークリッド空間において，１辺の長さが１の立方体をｎ次元単位立方体といいます．その体積は１ですが，もっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さはｎ次元ユークリッド空間の距離の定義から

　　√１2＋１2＋・・・＋１2＝√ｎ となります．したがって，次元ｎが大きくなると対角線の長さはどんどん大きくなり，ついには地球でさえ含むことができるようになります．

　それに対して，ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．また，ｎ次元単位球の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．そして，不思議なことに，単位球の体積はｎ→∞のとき０に収束するのです．

ｎ　　　 Ｖn

１　　　2

２　　　3.14

３　　　4.19

４　　　4.93

５　　　5.263

６　　　5.167

７　　　4.72

８　　　4.06

９　　　3.30

10　　　2.55

　また，このことから，ｎ次元超立方体[-1,1]n（体積2^n）において，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．単位超球を超立方体中に置くと，次元が大きくなるにつれて隙間がより大きくなるのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝