凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈されます．

　量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．オイラー標数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，一般に，図形がいくつかの３角形によって分割されているとき，

　　頂点の数−辺の数＋３角形の数

は分割の仕方によらず定まり，図形に固有な量になるというものです．例えば，平面図形（多角形）は，１つの面が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますから，オイラー標数は１となり，また，種数（穴の数）ｇの向き付け可能な閉曲面の場合は２−２ｇとなることはよく知られています．

　オイラーの多面体定理を一般化したものが，オイラー・ポアンカレの定理です．オイラー数はベッチ数の交代和

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｇ＋ｈ−ｉ＋・・・

に等しいというのが，オイラー・ポアンカレの内容ですが，ベッチ数とは，簡単にいえば図形の中に潜む種々の次元の穴の数のことです．

　オイラー・ポアンカレの定理をｎ次元単体について証明してみましょう． 線分と三角形および四面体は，それぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形です（単体：シンプレックス）．線分は２つの端点（０次元の境界要素）をもち，その内部は１次元です．三角形は３つの頂点（０次元）と３つの辺（１次元）をもち，その内部は２次元です．四面体は４つの頂点（０次元）と６つの辺（１次元）および４つの面（２次元）をもち，その内部は３次元です．これらの数をまとめて書くと

　　　　２，１

　　　３，３，１

　　４，６，４，１

ですが，これらの数はパスカルの三角形の一部分に相当しています．これから類推すると４次元のシンプレックスは５，１０，１０，５，１，すなわち５つの頂点と１０辺，１０面，５面，５胞（正５胞体）になります．

　これより，ｎ次元単体についてはｖ＝n+1Ｃ1，ｅ＝n+1Ｃ2，ｆ＝n+1Ｃ3，ｃ＝n+1Ｃ4，・・・ですから，

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｇ＋ｈ−ｉ＋・・・＝１±１

すなわち，オイラー標数は，ｎが奇数のとき２，偶数のとき０になることが理解されます．

　単体でなくとも、オイラー・ポアンカレの定理は成立し，たとえば，２次元凸多角形に対するオイラー・ポアンカレの定理は，

　　ｖ−ｅ＝０

ですから，ｎ角形は必然的にｎ辺形になります．また，二次元における正多角形，三次元における正多面体と同じ概念が，四次元における正多胞体で，正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６種類あります．胞の個数をｃで表すと，４次元空間では，

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０

というオイラー・ポアンカレの定理が成り立っています．

　なお，偶数次元と奇数次元とでの同様の交代性は，超球の体積にも現れます．ｎ次元単位超球{x12+x22+･･･+xn2≦1}の体積をｖnとすると，ｖ1=2（直径）,ｖ2=π（面積）,ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょうが，ｖnは漸化式：

　　ｖn/ｖn-2=2π/n

によって求めることができます．そして，任意のｎに対して，

　　ｖn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!　　　ｎが奇数の場合

　　ｖn=(2π)^(n/2)/n!!　　　　　 ｎが偶数の場合

であり，１次元から６次元までを具体的に書けば，

　　ｖn＝２，π，４π／３，π2／２，８π2／１５，π3／６

という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．

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