ケプラーは雪の結晶が正六角形をしているのはなぜかと考え、史上初めて菱形十二面体をみつけました。４次元の雪（超正六角形）はケプラーが予想したとおり菱形十二面体であるということです。そこで、次なる問題は、四次元あるいはもっと高次元で、正多辺形・正多面体はどのような形のものがあり、何種類存在するのだろうかというものでしょう。実は、四次元では６種類、五次元以上では３種類あることが知られています。

　五次元以上のｄ次元の場合は、２ｄ個の頂点と２d 個の辺をもつ双対立方体（三次元では正八面体）、２d 個の頂点と２ｄ個の辺をもつ立方体、ｄ＋１個の頂点とｄ＋１個の辺をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしています。三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり、四次元の場合は他に３つあるといったほうがわかりやすいと思われます。三次元の正多面体は５種類であり、五次元以上でも３種類しかないのに、四次元では６種類もあることは四次元の不思議ともいうべき事実です。

　二次元における正多角形、三次元における正多面体と同じ概念が四次元における正多胞体で、正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６つです。以下、正多胞体をいくつか紹介します。

　線分と三角形および四面体は、それぞれ最も簡単な１次元図形、２次元図形、３次元図形です（シンプレックス）。線分は２つの端点（０次元の境界要素）をもち、その内部は１次元です。三角形は３つの頂点（０次元）と３つの辺（１次元）をもち、その内部は２次元です。四面体は４つの頂点（０次元）と６つの辺（１次元）および４つの面（２次元）をもち、その内部は３次元です。これらの数をまとめて書くと

　　　　２，１

　　　３，３，１

　　４，６，４，１

ですが、これらの数はパスカルの三角形の一部分に相当しています。これから類推すると４次元のシンプレックスは５，１０，１０，５，１、すなわち５つの頂点と１０辺、１０面、５面、５胞（正５胞体）になります。

　また、二次元空間の正三角形の相当する三次元図形は正四面体、正方形は立方体、正五角形は正十二面体に相当しますが、四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねると、四次元特有の正二十四胞体（２４胞，９６面，９６辺，２４頂点）ができます。その意味で、立方八面体・菱形十二面体は正二十四胞体の３次元版です。また、四次元空間における正十二面体に相当する図形は正百二十胞体（１２０胞，７２０面，１２００辺，６００頂点）と呼ばれています。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝