相貫円柱の問題を紹介した．答えを先にいうと

（Ａ）半径が等しい３つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき，その共通部分は立方八面体の双対である菱形１２面体を丸く膨らましたような形で１２の曲面で囲まれた立体になる．その体積は円柱の直径をｄとすると

　　（２−√２）ｄ^3

になる．

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［１］解

　３円柱を

　　ｘ^2＋ｙ^2≦１，ｙ^2＋ｚ^2≦１，ｚ^2＋ｘ^2≦１

とする．対称性から０≦θ≦π／４の扇型の上で，ｚ＞０の体積を計算すれば，その１６倍が全体の体積です．

　天井と床は０≦ｙ≦ｘが成立する範囲で

　　ｚ＝（１−ｘ^2）^1/2

となるので，

　　Ｖ／１６＝∫(0,1)［∫(0,π/4)（１−ｒ^2ｃｏｓ^2θ）^1/2ｄθ］ｒｄｒ

　　ｒはヤコビアン

　積分の順序交換をし

　　Ｖ／１６＝∫(0,π/4)［∫(0,1)ｒ（１−ｒ^2ｃｏｓ^2θ）^1/2ｄｒ］ｄθ

　　３Ｖ／１６＝∫(0,π/4)［１／ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^3θ／ｃｏｓ^2θ］ｄθ

　第１項は１，ｔ＝ｃｏｓθと置換すると，第２項は

　　∫(1,1/√2)（ｔ＋１／ｔ）｜＝２−３／√２

より

　　３Ｖ／１６＝３−３／√２→Ｖ＝１６−８√２　（πは入らない）

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［２］別解

　［１］では相貫円柱の問題を解くのに円柱座標を用いましたが，ここでは（ｘ，ｙ）平面に平行な面での切り口の問題として考えてみます．

　上半分の体積を計算して２倍しますが，

［１］ｚ≧１／√２のとき，切り口が１辺２（１−ｚ^2）の正方形

［２］ｚ≦１／√２のとき，切り口が円から４つの弓形を除いた図形

　　弓形の面積はθ−ｃｏｓθｓｉｎθ

　したがって，

　　Ｖ／２＝∫(1/√2,1)４（１−ｚ^2）^1/2ｄｚ＋∫(0,1/√2)（π−４θ＋４ｃｏｓθｓｉｎθ）ｄｚ

＝∫(1/√2,1)４（１−ｚ^2）^1/2ｄｚ＋∫(0,1/√2)πｄｚ−４∫(0,π/41/√2)（４θ＋４ｃｏｓθｓｉｎθ）ｃｏｓθｄθ

＝８−４√２→Ｖ＝１６−８√２　（πは入らない）

　なお，この体積は球の体積４π／３より大きい．

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