モジュラー群：ＳＬ（２，ｚ）

［ａ，ｂ］，ａｄ−ｂｃ＝１

［ｃ，ｄ］に対する重さｋの保型形式とは

フーリエ展開

ｆ（ｚ）＝ｘａ（０）＋Σａ（ｎ）ｘｅｘｐ（２πｉｎｚ）

をもち，すべてのｚ（ａ，ｂ，ｘ，ｄ）について

ｆ（（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝（ｃｚ＋ｄ）^kｆ（ｚ）

を満たす関数である．

実はすべてのＳＬ（２，ｚ）は

［１，１］，すなわち，周期性と

［０，１］

［０，−１］，すなわち，双対性

［１，　０］

という２元で生成されていることが知られている．

　すると保型性はその生成元に対して

　　ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）

　　ｆ（−１／ｚ）＝ｚ^kｆ（ｚ）

と同値となる．

　前者はフーリエ展開から従うので，実質的には

　　ｆ（−１／ｚ）＝ｚ^kｆ（ｚ）

と同値である．

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