オイラー積とは

　　ζ（ｓ）＝Πζp（ｓ）

　　ζp（ｓ）＝（１−ｐ^-s）^-1

という素数に関する分解表示のことである．具体的には

　　１／１^s＋１／２^s＋１／３^2＋・・・

＝（１−２^-s）^-1（１−３^-s）^-1（１−５^-s）^-1・・・

と書くことができる．

　関数等式とは，ζ（１−ｓ）とζ（ｓ）の対応関係である，具体的に書くと

　　ζ（１−ｓ）＝ζ（ｓ）２（２π）^-sΓ（ｓ０ｃｏｓ（πｓ／２）

という関係式である．

ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

で定義すると

ξ(s)=ξ(1-s)

のように完全に左右対称な美しい形になる．

　これは完備ゼータ関数と呼ばれ，

　　ξ(s)=Πζp（ｓ）

　　ζp（ｓ）＝（１−ｐ^-s）^-1

　　ｐが∞のとき，ζp（ｓ）＝π^(-s/2)Γ(s/2)

という形になっている．

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