リーマンは積分を用いた解析接続法を２つ示しました．そのひとつが

ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

で定義された完備リーマンゼータに対して

ξ(s)=ξ(1-s)

のように完全に左右対称な美しい形になることを示すことです．

　リーマンは

　　ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

に対する積分表示

　　ξ(s)=∫(0,∞)φ(t)ｔ^(s/2-1)ｄｔ

　　φ(t)＝Σｅｘｐ（−πｎ^2ｔ）

を発見しました．

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【１】証明

　　ξ(s)=∫(0,∞)φ(t)ｔ^(s/2-1)ｄｔ

=∫(0,1)φ(t)ｔ^(s/2-1)ｄｔ＋∫(1,∞)φ(t)ｔ^(s/2-1)ｄｔ

　テータ変換公式

　　φ(t)＝Σｅｘｐ（−πｎ^2ｔ）

=ｔ^-1/2φ(1/t)＋ｔ^-1/2／２−１／２

　　２φ(1/t)＋ｔ＝ｔ^1/2（２φ(t)＋１）

を第１式に対して用いると

　　ξ(s)=∫(0,∞)φ(t)ｔ^(s/2-1)ｄｔ

=∫(0,1)φ(1/t)ｔ^(s/2-3/2)ｄｔ＋１／２∫(0,1)ｔ^(s/2-3/2)ｄｔ−１／２∫(0,1)ｔ^(s/2-1)ｄｔ＋∫(1,∞)φ(t)ｔ^(s/2-1)ｄｔ

=∫(1,∞)φ(t)ｔ^(-s/2-1/2)ｄｔ＋１／２∫(0,1)ｔ^(s/2-3/2)ｄｔ−１／２∫(0,1)ｔ^(s/2-1)ｄｔ＋∫(1,∞)φ(t)ｔ^(s/2-1)ｄｔ

＝∫(1,∞)φ(t)｛ｔ^s/2＋ｔ^(1-s)/2｝／ｔｄｔ＋１／ｓ（１−ｓ）

となって

ξ(s)=ξ(1-s)

であることが示されたことになる．

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ξ(s)=1/2s(s-1)π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

あるいは

ξ(s)=s(s-1)π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

とおいた場合を考える．

　たとえば，後者の場合，

ξ(s)=ｓ（１−ｓ）∫(1,∞)φ(t)｛ｔ^s/2＋ｔ^(1-s)/2｝／ｔｄｔ＋１

となって

ξ(s)=ξ(1-s)

であることが示されたことになる．

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