１８世紀の初期において微積分が確立されていくようになり、たとえば、次のような不定積分

[1]∫dx/(x+a)

[2]∫dx/(x^2+a^2)

[3]∫dx/(x^2-a^2)

[4]∫(x+a)dx/(x^2+bx+c)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

[5]∫P(x)dx/Q(x)

が問われるようになった

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［５］∫ｄｘ／（ｘ^2−１）^1/2＝ｌｏｇ（ｘ＋（ｘ^2−１）^1/2）

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　ｔ＝ｘ＋（ｘ^2−１）^1/2とおく．

　ｘ＝（ｔ^2＋１）／２ｔ，ｄｘ＝（ｔ^2−１）／２ｔ^2ｄｔ　

　（ｘ^2−１）^1/2＝ｔ−ｘ＝（ｔ^2−１）／２ｔ

　したがって，

∫ｄｘ／（ｘ^2−１）^1/2＝∫２ｔ／（ｔ^2−１）・（ｔ^2−１）／２ｔ^2ｄｔ

＝∫ｄｔ／ｔ＝ｌｏｇｔ＝ｌｏｇ（ｘ＋（ｘ^2−１）^1/2）

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［６］∫ｄｘ／（ａ^2−ｘ^2）＝１／２ａ・∫｛１／（ａ＋ｘ）−１／（ａ−ｘ）｝ｄｘ＝１／２ａ・ｌｏｇ（ａ＋ｘ）／（ａ−ｘ）

ａ＝１のとき，

∫ｄｘ／（１−ｘ^2）＝１／２・∫｛１／（１＋ｘ）−１／（１−ｘ）｝ｄｘ＝１／２・ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）

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