１８世紀の初期において微積分が確立されていくようになり、たとえば、次のような不定積分

[1]∫dx/(x+a)

[2]∫dx/(x^2+a^2)

[3]∫dx/(x^2-a^2)

[4]∫(x+a)dx/(x^2+bx+c)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

[5]∫P(x)dx/Q(x)

が問われるようになった

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［４］∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）^3/2＝ｘ／（１＋ｘ^2）^1/2

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　∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）^3/2ｄｘ＝∫｛２ｔ／（１＋ｔ^2）｝^3・（１＋ｔ^2）／２ｔ^2ｄｔ

＝２∫２ｔ／（１＋ｔ^2）^2ｄｔ

　１＋ｔ^2＝ｓとおく．２ｔｄｔ＝ｄｓ

＝２∫１／ｓ^2ｄｓ＝−２／ｓ

　ｔ＝ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2

　ｓ＝２＋２ｘ^2＋２ｘ（１＋ｘ^2）^1/2

　−２／ｓ＝−１／｛１＋ｘ^2−ｘ（１＋ｘ^2）^1/2｝

（１＋ｘ^2）^2−ｘ^2（１＋ｘ^2）＝１＋ｘ^2

　−２／ｓ＝−｛１＋ｘ^2−ｘ（１＋ｘ^2）^1/2｝／（１＋ｘ^2）

＝ｘ／（１＋ｘ^2）^1/2−１

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