【２】基本原理

　上の例では単位円ｘ^2＋ｙ^2＝１という２次曲線について，Ｐ0（−１，０）をとったが，さらにもう１歩掘り下げると次の事実（基本原理）がある．

［基本原理］２次曲線Γ上に定点Ｐ0を定める．Γ上の任意の点Ｐに半直線Ｐ0Ｐを対応させ（Ｐ0自身にはそこでの接線を対応させ），Ｐ0Ｐが正の実軸となす傾き（偏角の正接）をｔとすると，Γを表す２次式の座標（ｘ，ｙ）はｔの有理関数として表すことができる．

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【３】双曲線の場合

　双曲線ｙ＝√（ｘ^2＋１）に対してはＰ0を（０，１）にとれは不定積分

　　∫（ｘ^2＋１）ｄｘ

は計算できるが，その計算はかなり複雑になる．それよりもＰ0が無限遠点二いったときの極限として，点Ｐを直線族ｘ＋ｙ＝ｔとの交点として表現すると以下のように簡単に計算できる．

　　ｘ＝（ｔ−１／ｔ）／２，ｙ＝（ｔ＋１／ｔ）／２，

　　ｄｘ／ｄｔ＝（ｔ^2＋１）／２ｔ^2

　　∫（ｘ^2＋１）ｄｘ＝∫（ｔ^2＋１）^2／４ｔ^3ｄｔ

　＝∫｛（ｔ＋１／ｔ^3）／４＋１／２ｔ｝ｄｔ

　＝（ｔ^2−１／ｔ^2）／８＋１／２ｌｏｇ｜ｔ｜＋Ｃ

　＝１／２｛ｘ√（ｘ^2＋１）＋ｌｏｇ（ｘ＋√（ｘ^2＋１））｝＋Ｃ

　これはなぜ，ｔ＝√（ｘ^2＋１）ではなく，ｔ＝ｘ＋√（ｘ^2＋１）と変数変換すべきか，その根拠を説明している．

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