三角関数の有理関数の積分はｔ＝ｔａｎ（θ／２）とおくと有理関数の積分に帰着できることはほとんどの教科書に書かれている．数学の学習では「この場合にはこうする」といった技法を習うが「なぜそうすればうまくいくのか」といった基本原理にまでは言及されていないのが普通である．もう１歩掘り下げると次の事実がある．　　　（一松信「基本原理を理解すること」より抜粋改編）

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【１】２次曲線のパラメータ表示例

　原点を中心とする半径１の円の円周上の点を（ｘ，ｙ）とすれば，第３の変数θを媒介として，ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθと表されます．θは（ｘ，ｙ）と（０，０），θ／２は（ｘ，ｙ）と（−１，０）を結ぶ直線とｘ軸とのなす角を表しています．

　さらにｔ＝ｔａｎ（θ／２）とすると

　　ｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ）＝（１−ｃｏｓθ）／ｓｉｎθ，

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2），

　　ｄθ／ｄｔ＝２／（１＋ｔ^2）

より，

　　ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

　　ｙ＝（２ｔ）／（１＋ｔ^2）　　　（−１≦ｔ≦１）

と表すことができます．

　単位円上のすべての有理点（座標ｘ，ｙが有理数であるような点）は，ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｙ＝（２ｔ）／（１＋ｔ^2）とｘ＝−１，ｙ＝０です．

　このように，円の有理点全体は１つの変数ｔによって一意化できますが，円ばかりではなく，現在では２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかです．実際，ｔ＝ｍ／ｎを代入して展開すると，

　　ｘ＝±（ｍ^2−ｎ^2）／（ｍ^2＋ｎ^2），

　　ｙ＝２ｍｎ／（ｍ^2＋ｎ^2）

となります．

　したがって，ピタゴラス数（ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2：ａ，ｂ，ｃは整数）の組み合わせは，ａ＝ｍ^2−ｎ^2，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ^2＋ｎ^2によって，すべて導き出せることがおわかり頂けることでしょう．

　なお，三角関数の有理関数の積分はｔ＝ｔａｎ（θ／２）とおくと有理関数の積分に帰着できることはほとんどの教科書に書かれていますが，うまくｔａｎθ，ｃｏｓ^2θ，ｓｉｎ^2θだけの関数に書き表すことができる場合には，ｔａｎθ＝ｔとおくことによって三角関数の有理関数の積分計算は格段と簡単になります．この場合，ｃｏｓ^2θ＝１／（１＋ｔ^2），ｓｉｎ^2θ＝ｔ^2／（１＋ｔ^2）となりますから，ｔａｎ（θ／２）＝ｔとおいた場合に比べ，次数が約半分の有理関数になります．

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