（その４０）の続きです．

　ベータ関数を活用すると，たとえば，３次元空間において座標面と平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝１とで囲まれた四面体Ｋを積分区域とすると

　　Ｓ＝∫∫∫(K)ｘ^(p-1)ｙ^(q-1)ｚ^(r-1)（１−ｘ−ｙ−ｚ）^(s-1)ｄｘｄｙｄｚ

　　　＝Γ(p)Γ(q)Γ(r)Γ(s)／Γ(p+q+r+s)

になる・・・その前に，２次元空間を扱うべきであった．

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　ｘ≧０，ｙ≧０，平面ｘ＋ｙ≦１とで囲まれた正方形の半分Ｋを積分区域とすると

　　Ｓ＝∫∫ｘ^mｙ^nｄｘｄｙ＝∫(0,1)（∫(0,1ｰy)ｘ^mｙ^nｄｘ）ｄｙ

は

　　∫(0,1ｰy)ｘ^mｙ^nｄｘ＝ｙ^n（１−ｙ）^m+1／（ｍ＋１）

より，

　　Ｓ＝Ｂ（ｎ＋１，ｍ＋１）／（ｍ＋１）＝ｎ！（ｍ＋１）！／（ｍ＋１）ｍ＋ｎ＋２）！

＝ｍ！ｎ！／（ｍ＋ｎ＋２）！＝Γ(ｍ＋１)Γ(ｎ＋１)／Γ(ｍ＋ｎ＋２)

となります．

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　前節とは異なる直角二等辺三角形

　　Ｄ＝｛（ｘ，ｙ｝｜０＜ｘ＜ｙ＜１｝

の場合，たとえば，

　　Ｓ＝∫∫１／（１−ｘ）ｙｄｘｄｙ＝∫(0,1)（∫(0,y)１／（１−ｘ）ｄｘ）ｄｙ／ｙ

＝−∫(0,1)ｘｌｏｇ（１−ｖ）ｄｙ／ｙ＝π^2／６

となります．

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