【１】空間内の曲面の幾何

　微分幾何は，曲線や曲面，そしてそれらを高次元に一般化した多様体を微積分を使って調べる学問ですが，現代的な意味での微分幾何はガウスに始まります．

　ガウスの曲面論では，曲率，捻率のかわりに第１，第２基本形式を定めます．第１基本形式ｇは

　　ｇ＝ｇ11（ｄｕ）^2＋２ｇ12ｄｕｄｖ＋ｇ22（ｄｖ）^2

で表されます．ここで，

　　ｇ11＝（ｘu，ｘu），ｇ12＝（ｘu，ｘv），ｇ22＝（ｘv，ｘv）

　　Δ＝ｇ11ｇ22−（ｇ12）^2＞０　　　（正定値２次形式）

　一方，第２基本形式ｈは，

　　ｈ＝ｈ11（ｄｕ）^2＋２ｈ12ｄｕｄｖ＋ｈ22（ｄｖ）^2

ただし，

　　ｈ11＝（ｘuu，ｎ），ｈ12＝（ｘuv，ｎ），ｈ22＝（ｘvv，ｎ）

　　ｈij＝det（ｘij，ｘ1，ｘ2）／Δ^(1/2)

と表されます．

　第１基本形式は，ｕｖ平面をどう伸縮して曲面を作るかを指定していて，緯線・経線の長さと曲線同士の角度を定めているといえます．それに対して，第２基本形式は，接平面を基準面として曲面の曲がり方を定めています．

　ここで，対称行列Ｇ，Φを

　　Ｇ＝［ｇ11，ｇ12］　　　Φ＝［ｈ11，ｈ12］

　　　　［ｇ12，ｇ22］　　　　　［ｈ12，ｈ22］

とおくと，

　　ｇ＝（ｄｕ，ｄｖ）Ｇ（ｄｕ，ｄｖ）’

　　ｈ＝（ｄｕ，ｄｖ）Φ（ｄｕ，ｄｖ）’

のように，２次形式で表されます．曲率，捻率とは違って，これらは関数ではなくて接平面上における２次形式を与えるものであって，第１，２基本形式はテンソルと呼ばれる量なのです．（ヘシアンは２階偏微分係数の表すテンソルです．）

　また，曲面の各点で曲がり方が最もきつい方向と緩やかな方向がありますが，これらを用いて曲面の曲率を定めることができます．ガウス曲率Ｋは曲率の最大値と最小値の積で定義され，一方，平均曲率Ｈとは２方向の曲率の相加平均で定義されます．すなわち，ガウス曲率Ｋと平均曲率Ｈは

　　Ｋ＝κ1κ2

　　Ｈ＝（κ1＋κ2）／２

であって，また，曲率κ1，κ2を主曲率と呼びます．

　対称行列Ｇ，Φを用いると

　　Ｋ＝det（Ｇ^(-1)Φ）＝detΦ／detＧ

　　　＝｛ｈ11ｈ22−（ｈ12）^2｝／Δ

　　　＝κ1κ2

　　Ｈ＝1/2tr(Ｇ^(-1)Φ）

　　　＝（ｇ11ｈ22−２ｇ12ｈ12＋ｇ22ｈ11）／２Δ

　　　＝（κ1＋κ2）／２

となることが示されます．

　これらを用いれば，主曲率は２次方程式の根と係数の関係から

　　κ1＝Ｈ−（Ｈ^2−Ｋ）^(1/2)

　　κ2＝Ｈ＋（Ｈ^2−Ｋ）^(1/2)

と表されます．

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【２】曲率には２種類ある！

　前項で出てきた曲率とは，曲面（曲線）を最もよく球（円）で近似するもので，いわば，外から見た曲率（extrinsic curvature）でした．それに対して，内から見た曲率（intrinsic curvature）という概念があります．内から見た曲率では，円を使わず，三角形を使って曲率を測ります．

　第１基本形式は緯線・経線の長さと曲線同士の角度を定めているので，第１基本形式をパラメータで積分することによって面積が得られます．測地線三角形ＡＢＣにこのことをあてはめると，三角形の頂点の角度をα，β，γとおくと，

　　∫∫ＫｄＡ＝α＋β＋γ−π　　　（ガウス・ボンネの定理）

　したがって，ユークリッド面（Ｋ＝０），リーマン面（Ｋ＞０），ロバチェフスキー面（Ｋ＜０）では，それぞれ，

　　Ｋ＝０・・・π＝α＋β＋γ

　　Ｋ＞０・・・π＜α＋β＋γ

　　Ｋ＜０・・・π＞α＋β＋γ

になることが導き出されます．たとえば，双曲平面では三角形の内角の和はπより小さいが成立するというわけです．

　冒頭で，有名な数学者であるガウスが山に登って三角測量を行った話を紹介しましたが，ガウスがそんなことをした理由はこういう理由だったのです．もっとも，確かめられたπとの差は測定誤差に基づく近似の精度より小さく，何の結論にも至らなかったのですが，・・・

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【３】ガウスがぶったまげた驚異の定理

　われわれは３次元空間内に曲面があるというイメージをもっているわけですが，リーマン計量を与えれば曲面が入っている３次元空間という視点は必要がなくなります．

　同様のことが，ガウス曲率についてもいえるのですが，

　　「ガウス曲率は，リーマン計量のみを用いて表される．」

　　「ガウス曲率は第１基本形式だけで定まり，第２形式にはよらない．」

が成り立ちます．すなわち，最短曲線を与える計量は，第１基本形式と対応していて，そのとき，

　　ｄｓ^2＝（ｄｕ，ｄｖ）Ｇ（ｄｕ，ｄｖ）’

リーマン計量と呼ばれるというのです．

　われわれが曲面上に閉じこめられ，外の世界については何も知らないものとしましょう．その場合，われわれにとって知りうることは，座標と運動方向と長さ（第１基本形式）だけとなります．それに対して，第２基本形式は曲面を３次元空間のなかで考えてはじめて定義される量です．

　曲面の性質を調べるとき，曲面の内的情報だけで記述できるものと，外の世界からの観測データを本質的に必要とするものとがあります．ガウスは，ガウス曲率が曲面の内部の情報だけで決定でき，外部情報に依存しないことを発見したことになります．われわれは地球が平らでないことを星を観測するなど外的な情報を用いて認識していますが，ガウス曲率のような手がかりを使えば，曲面人にとっても外部情報なしに，地球が平らでないことを認識できることになるというのです．

　そのとき，ガウスは相当ブッタマゲタらしく，この定理を「驚異の定理（Theorema egregium）」と呼んでいますが，これは曲面論の最も重要な結果であると考えられています．

　第２基本形式のような曲面からみて外的な量を理論から排除し，曲面の上の住む生物にとって定義可能な内的な量のみを用いて，曲面の幾何学を構築するのがリーマン幾何学の考え方ですが，ガウス曲率が第１基本形式だけで書かれるという事実のおかげで，曲面人は自分の住む空間が曲がっていることを認識することができるのです．

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【４】まとめ（ガウス幾何学とリーマン幾何学）

　微分幾何は，曲線や曲面，そしてそれらを高次元に一般化した多様体を微積分を使って調べる学問ですが，現代的な意味での微分幾何はガウスに始まります．微分幾何において世界の曲がり具合を表す量が曲率なのですが，それに対して，リーマン計量を使って曲がった世界の性質を調べる学問を「リーマン幾何学」と呼びます．

　すなわち，ガウスの微分幾何が３次元空間内の曲面の幾何であるというならば，リーマンの幾何は曲面がユークリッド空間に入っていることを使わずに，第１基本形式から出発する幾何であるといえるのです．

　ガウス曲率は，その後，曲面の内在的量としてリーマン幾何学発展の基礎となりましたが，その際，リーマンの計量（metric）とガウスの曲率（curvature）は表と裏の関係にあったのです．

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