ｘ^1/2＋ｙ^1/2＝１

を移項して２乗すれば

　　（ｘ−ｙ）^2＝２（ｘ＋ｙ）−１

これは放物線を表します．

　平面では放物線の一部でしたが，空間において

　　ｘ^1/2＋ｙ^1/2＋ｚ^1/2＝１

は２次曲面ではありません．さて，（その３９）の続きです．

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　ベータ関数を多変数化すると，ディリクレの積分公式

　　∫ｘ1^(p1-1)･･･ｘm^(pm-1)（１−ｘ1−・・・−ｘm）^(q-1)ｄｘ1・・・ｄｘm

　＝Γ(p1)･･･Γ(pm)Γ(q)／Γ(p1+･･･+pm+q)

が得られます．

　→［参］高木貞治「解析概論」岩波書店，ｐ359

　３次元空間において，天井が

　　ｘ^1/p＋ｙ^1/p＋ｚ^1/p＝１

なら，座標面と天井とで囲まれた立体の体積Ｖは

　　Ｖ＝Γ^3(p+1)／Γ(3p+1)

となります．とくに，ｐ＝１ならＶ＝１／３！＝１／６，ｐ＝２ならＶ＝８／６！＝１／９０となります．

　ｎ次元空間では，天井が

　　ｘ1^1/2＋ｘ2^1/2＋・・・＋ｚn^1/2＝１

なら，座標面と天井とで囲まれた立体の体積Ｖは

　　Ｖ＝２^n／（２ｎ）！

で計算できます．

　ベータ関数を活用すると，たとえば，３次元空間において座標面と平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝１とで囲まれた四面体Ｋを積分区域とすると

　　Ｓ＝∫∫∫(K)ｘ^(p-1)ｙ^(q-1)ｚ^(r-1)（１−ｘ−ｙ−ｚ）^(s-1)ｄｘｄｙｄｚ

　　　＝Γ(p)Γ(q)Γ(r)Γ(s)／Γ(p+q+r+s)

になるというわけです．

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