スターリングの図形的第１近似について考えてみたい．

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　もとのｎ次元正軸体の１象限の体積は１／ｎ！．また，切頂後２個で１辺の長さ（２／ｎ）の立方体ができるから，不等式

　　２^n／２≦ｎ^n／ｎ！≦２（ｎ／２）^n

が成り立つことがわかる．この不等式は，スターリングの不等式から明らかかもしれないが，図形的に示すことができることは面白いだろう．

　一方，

　　ｎ！^2＝（１・２・・・ｎ）（ｎ・・・２・１）＝Πｋ（ｎ＋１−ｋ）

　　Πｎ≦ｎ！^2≦Π（ｎ＋１）^2／４

より

　　ｎ^n/2≦ｎ！≦（ｎ＋１）^n／２^n

　　２^n（１＋１／ｎ）^-n≦ｎ^n／ｎ！≦ｎ^n/2

が成り立つ．

　ここで，

　　（１＋１／ｎ）^n

は増加数列で

　　２≦（１＋１／ｎ）^n≦ｅ

あるので，

　　２^n／２≧２^n（１＋１／ｎ）^-n

また，

　　ｎ^n/2≦（ｎ／２）^n≦２（ｎ／２）^n

であることも明らかであろう．

　以上より

　　２^n（１＋１／ｎ）^-n≦２^n／２≦ｎ^n／ｎ！≦ｎ^n/2≦２（ｎ／２）^n

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