−１＜ｘ＜１で，次のような無限級数を考えます．

　　Σ（−１）^nｘ^n＝１／（１＋ｘ）

　これは１／（１＋ｘ）のｘ＝０におけるテイラー展開とみることができます．これを積分するとｌｏｇ（１＋ｘ）のｘ＝０におけるテイラー展開

　　Σ（−１）^n+1ｘ^n+1／（ｎ＋１）＝ｌｏｇ（１＋ｘ）

が得られます．

　ｘをｘ^2に置き換えて，同様の議論を行うと，ａｒｃｔａｎｘのｘ＝０におけるテイラー展開が得られます．

　　Σ（−１）^nｘ^2n＝１／（１＋ｘ^2）

　　Σ（−１）^2n+1ｘ^2n+1／（２ｎ＋１）＝ａｒｃｔａｎｘ

　ここで，Ｘ−１とおくと，無限級数

　　Σ（−１）^n+1／（ｎ＋１）＝ｌｏｇ２

　　Σ（−１）^2n+1／（２ｎ＋１）＝π／４

が得られます．後者はライプニッツ級数と呼ばれています．

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【１】グレゴリー・ライプニッツ級数

　グレゴリー・ライプニッツ級数（１６７３年）

　　π／４＝１−１／２＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・

の左辺にも半径１の円の円周の長さπがおかれている．

　この式の右辺は

　　（１＋１／３）^-1（１−１／５）^-1（１＋１／７）^-1（１＋１／１１）^-1（１−１／１３）^-1・・・

と書き直すことができる．

　すなわち，４で割って３余る素数のところに

　　（１＋１／ｐ）^-1

４で割って１余る素数のところに　

　　（１−１／ｐ）^-1

とおくと，

　　４＝２π・１／２・（１＋１／３）（１−１／５）（１＋１／７）（１＋１／１１）（１−１／１３）・・・

　　加藤和也「素数の歌が聞こえる」ぷねうま舎

によると，分子のπは（実数世界での円の長さ）・（２進整数の世界での円の長さ）・（３進整数の世界での円の長さ）・（５進整数の世界での円の長さ）・・・となって，πを素数達が協力しあって生み出している様子を表している，一方，分母の４は円ｘ^2＋ｙ^2＝１上に整数点が４個あることを表しているという．

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【２】グレゴリー・ライプニッツ級数のオイラー積

　グレゴリー・ライプニッツ級数のオイラー積は

　　（１＋１／３）^-1・（１−１／５）^-1・（１＋１／７）^-1・（１−１／１１）^-1・（１＋１／１３）^-1・・・

＝（１−１／３^s＋１／９^s−１／２７^s＋・・・）（１＋１／５^s＋１／２５^s＋・・・）（１＋１／７^s＋・・・）・・・

というように素数についての積の形に書くことができる．このような関係から，奇数全体についての交代級数の話が素数全体についての積の話になる．

　これは，ディリクレのＬ関数

　　Ｌ（ｓ，χ）＝Π（１−χ（ｐ）ｐ^-s）^-1＝Σχ（ｎ）ｎ^-s

において，

　　χ（ｐ）＝（−１）^(p-1)/2，χ（ｎ）＝（−１）^(n-1)/2

　　Ｌ（ｓ）＝Π（１−（−１）^(p-1)/2ｐ^-s）^-1＝Σ（−１）^(n-1)/2ｎ^-s

としたものである．

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【３】積の順序

　４で割って１余る素数をｐ，４で割って３余る素数をｑとする．

　　Π（１−１／ｐ）^-1〜Ｃ√（ｌｏｇｘ）

　　Π（１＋１／ｑ）^-1〜／π４Ｃ√（ｌｏｇｘ）

ｐ＜ｘ^a，ｑ＜ｘ^bとすると

　　Π（１−１／ｐ）^-1×Π（１＋１／ｑ）^-1＝π／４・√（ａ／ｂ）

　ａ＝ｂ＝１のとき

　　Π（１−１／ｐ）^-1×Π（１＋１／ｑ）^-1＝π／４（グレゴリー・ライプニッツ級数）

　　（１＋１／３）^-1（１−１／５）^-1（１＋１／７）^-1（１＋１／１１）^-1（１−１／１３）^-1・・・

　ａ＝２，ｂ＝１のとき

　　Π（１−１／ｐ）^-1×Π（１＋１／ｑ）^-1＝π／２√２

　　（１−１／５）^-1（１＋１／３）^-1（１−１／１３）^-1（１−１／１７）^-1（１−１／２９）^-1・・・

　すなわち，素数の並び方を変えると絶対収束しない．積の順序はむやみに変更してはいかないのである．

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【４】和の順序

　一般に，

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

の項の順序を，正の項をｍ個，負の項をｎ個ずつ交互に並べ替えてできる級数の和は

　　ｌｏｇ２＋１／２・ｌｏｇｍ／ｎ

となる．

［１］ｍ＝２，ｎ＝１→３／２ｌｏｇ２

［２］ｍ＝１，ｎ＝２→１／２ｌｏｇ２

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