またまた、「解析学大要」改訂版よりの問題

I=∫1/sqrt(x(1-x)) dx を求める。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］ t=sqrt((1-x)/x)　とする。

x=1/(t^2+1) , dx=-2t/(t^2+1)^2 dt

I=∫(1/x)sqrt(x/(1-x))dx = -2∫1/(t^2+1) dt

= -arctan t = -2 arctan(sqrt((1-x)/x))

［２］ t = x-1/2　とする。

x=t+1/2

I=∫1/sqrt((1/2+t)(1/2-t))dt = arcsin 2t = arcsin(2x-1)

［３］ t=(sin t)^2

dx = 2sin(t)cos(t) , t=arcsin(sqrt(t))

1/sqrt(x(1-x)) = 1/(sin(t)cos(t))

であるから、

I=∫2 dt = 2t = 2arcsin(sqrt(x))

これらの答えは、定数の差を除いて、一致する。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　以上、不定積分は、いろいろな解法があるのであるが、あまり深みにはまるのもよくないかもしれない。

　ネタの本は20年前のものである。今の大学の教科書は、このようにこった問題はないだろう。

［１］第一に、ほかに教えなければいけないことがいっぱいある。

［２］第二に、係数、変数を複素数に拡張すれば、

sqrt(x^2-a^2)、sqrt(x^2+a^2)

の不定積分は同じになる。三角関数は、逆三角関数は、指数関数に帰着される。そういうことを考えると、不定積分のパターンは驚くほど、少なくなる。

［３］第三に、数式処理システムで、結構、不定積分、定積分をよく計算してくれる。

よって、不定積分の技巧は、私が学生のころにくらべて、重要性がなくなったとおもう。

　そういえば、昔は、複素解析の留数の理論をつかって、いろいろな定積分を計算した覚えがあるが、最近の教科書にはのっていないようだ。　　（阪本ひろむ）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝