即刻，阪本氏から回答が届いた．

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［１］1/√(x^2+1)について

は「〜をどうやって置換積分するか？、その置換積分の幾何学的意味は？」という趣旨では√(x^2+1)と同じ

　ただし、この計算結果は log(x+√(x^2+1) となり、√(x^2+1)dxより計算が楽である。

　高木貞治は、f(√(x^2+1))全般の置換積分を考えるときに、幾何学的な考察をしている。よって、1/√(x^2+1)個別の幾何学的解釈はないように思われる。

［２］1/(x^4+1)について

　x^4+1=(x^2+√2x+1)(x^2-√2 x+1)を知っていると、何とか正解にたどり着く。

　x^4+1=(x^2+√2x+1)(x^2-√2 x+1)に幾何学的な説明は出来るのであろうか？

［３］そのほかの不定積分について

　むしろ幾何学的な解釈がエレガントに出来るものはまれで，未知の積分をどのような積分に帰着させるか？　という技巧的なものがほとんどのような気がする。

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　ただ、置換積分の時に、天下り的に　「t=x+√(x^2+1)とせよ」というのを覚えるか、幾何学的な考察をするかで、数学の世界がかわってくるということではなかろうか？　　（阪本ひろむ）

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