虚２次体Ｑ（√-ｄ）の類数が１であるｄは

　　ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

の９個ある。この体の整数はみな素数の積で、順序は無視して１通りに表される。

　ガウスはすでにこの９つの値を知っていたが、ほかにはないということがわかったのは、１９６６年になってからである。

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　一方，後半の４つ

　　ｄ＝１９，４３，６７，１６３

の整数環は、は単項イデアル整域（ＰＩＤ）であるが，ユークリッド整域（ＥＤ）ではないことを注意しておきたい．

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　虚２次体Ｑ（√-１）=Ｑ（i）の整数環は一意分解整域である。つまり、どのa+biも素数の積として（順序は無視して）一通りに表される。

さらにこの環は整除のアルゴリズムが定義されるユークリッド整域である。

整数環Ｚもユークリッド整域であり、したがって、一意分解整域である。Ｚはｎ＝1の場合の円分体Ｑ（ξn）の整数環と考えられる。（ξnは１のｎ乗根）

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　虚２次体の単数が±１だけではないものが２つある。Ｑ（√-１）とＱ（√-３）。

Ｑ（√-１）の単数は±１と±i

Ｑ（√-３）の単数は｛（−１＋√-3)/2｝^j, J=0,1,2,3,4,5である。＝Ｑ（√-３）の単数群の位数は６

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　虚２次体Ｑ（√-2）の整数環はユークリッド整域であり、したがって、一意分解整域である。

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　虚２次体Ｑ（√-3）の整数環はユークリッド整域であり、したがって、一意分解整域である。

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