上半平面Im(z)＞0の変数z=x+iy(y＞0)に対して

q=exp(2πiz)とし、

Δ(z)=qΠ(1-q^n)^24=Στ(n)q^n, (|q|＜1)

とおくと、Δ(z)はモジュラー群SL(2,z)に関する保型形式となる

この場合の保型性とは

Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

がすべての(a,b,c,d)＜SL(2,z)に対して成立することである

L(s,Δ)==Στ(n)q^n=Π(1-τ(p)p^-s+p^11-2s)^-1

はRe(s)＞7で絶対収束する

Lp(s,Δ)=∞→Re(s)=11/2・・・これは｜τ（ｎ）｜≦２ｐ^11/2と同値である

ドリーニュはこれが正しいことを証明した．

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Δを扱ってきたが、同様に重さ12,16,20のΔkを

Δ12＝Δ,Δ16＝ΔE4,Δ20＝ΔE4^2とする。

E4=1+240Σσ3(n)q^n,

このとき

L(s,Δk)==Στk(n)q^n=Π(1-τk(p)p^-s+p^k-1-2s)^-1

｜τk（ｎ）｜≦２ｐ^(k-1)/2

Re(s)＞(k+1)/2で絶対収束する

{p^k/2+p^k/2-1+τk(p)}/p^k/2＜=(1+1/√p)^2，

{p^k/2+p^k/2-1-τk(p)}/p^k/2＜=(1-1/√p)^2

ｐ→∞のとき

{p^k/2+p^k/2-1-τk(p)}/p^k/2→1

Π{p^k/2+p^k/2-1-τk(p)}/p^k/2→√2/L(k/2,Δk)

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Δを扱ってきたが、同様に重さ18,22,26のΔkを

Δ18＝ΔE6,Δ22＝ΔE4E6,Δ26＝ΔE4^2E6とする。

E4=1+240Σσ3(n)q^n,

E6=1-504Σσ5(n)q^n,

このとき

L(s,Δk)==Στk(n)q^n=Π(1-τk(p)p^-s+p^k-1-2s)^-1

Δk(i)=0

E6(i)=0，

Σn^5/(exp(2πn)-1)=1/504

ｐ→∞のとき

Π{p^k/2+p^k/2-1-τk(p)}/p^k/2→exp(γ)√2/L’(k/2,Δk)・logt

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