【１】オイラーの分割数

　ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

　　ｐ（５９９）＝０　　ｍｏｄ５^3

　　ｐ（７２１）＝０　　ｍｏｄ１１^2

を予想し，それらを証明しています．

　さらに，

　　ｄ＝５^a７^b１１^c　かつ　２４ｎ＝１　　（ｍｏｄ　ｄ）

ならば，

　　ｐ（ｎ）＝０　　（ｍｏｄ　ｄ）

を予想していますが，ｎ＝２４３の場合，

　　ｐ（２４３）＝１３３９７８２５９３４４８８８

は，２４・２４３＝１　　（ｍｏｄ　３４３）であるにもかかわらず，ｄ＝７^3＝３４３では割り切れない．（この予想は誤りであった．）

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【２】ラマヌジャンの分割数

　一方，τ（ｎ）はｍｏｄ７，ｍｏｄ２３，ｍｏｄ６９１と大変よい関係にあることがわかっている．

　　τ（７ｎ）＝０　　ｍｏｄ７

　　τ（７ｎ＋３）＝０　　ｍｏｄ７

　　τ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　τ（７ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ７

　　τ（２３ｎ＋ｋ）＝０　　ｍｏｄ２３　　（ｋが２３の平方非剰余のとき

　　τ（ｎ）＝σ11（ｎ）　　ｍｏｄ６９１　　（σ11（ｎ）はｎの約数の１１乗の和）

　τ（ｎ）のおよその大きさを決めるのは難しい問題であったが，ラマヌジャンは素数ｐに対して，

　　｜τ（ｎ）｜≦２ｐ^11/2

が成り立つことを予想し，１９７３年，ドリーニュはこれが正しいことを証明した．

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