Ｉk＝∫(0,∞)ｘ^kｄｘ／（ｅｘｐ（２πｘ）−１）

＝∫(0,∞)ｘ^k（Πｅｘｐ（−２πｎｘ））ｄｘ

＝Σ１／（２πｎ）^k+1∫(0,∞)ｙ^kｅｘｐ（−ｙ）ｄｙ

＝ζ（ｋ＋１）Γ（ｋ＋１）／（２π）^k+1

＝Ｂk+1／２（ｋ＋１）

が成り立ちます．

　これを離散化するとさらにおもしろくなります．

Ｓk＝Σ(1,∞)ｎ^k／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）

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　ラマヌジャンは

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

　　Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)

も証明している．

　Ｉ1＝1/24に対してＳ1＝1/24-1/8πである．有名なラマヌジャンの等式であるが，不思議なことにｋ４ｍ＋１≧５のときはＳk＝Ｉkとなる．

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　ここで，πとωはそれぞれ，

　　π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）

　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

　ガウスの算術幾何平均

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝π/2／∫(0,π/2)ｄθ/(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)^(1/2)

より

　　Ｍ（√2，１）＝π／ω

また，レルヒの公式

　　Δ(i)＝（ω／π√2）^12＝Γ^24(1/4)／２^24π^18

　　Ｅ4(i)＝３（ω／π）^4＝３Γ^8(1/4)／６４π^6

もこの兄弟分にあたる．

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

に対して，第０項から始まるように，パラメータをずらすと

　　Σ(n+1)^5/{exp(2π(n+1))-1}

　この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+2)^5/(n+1)^5･{exp(2π(n+1))-1}/{exp(2π(n+2))-1}

であるから超幾何級数では表せないことがわかる．

　それではどうやってこれらの級数を証明したらいいのだろうか？　杉岡幹生氏に教えてもらったのだが，アイゼンシュタイン級数

　　Ｅ6　→　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

　　Ｅ2　→　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Ｅ4，ラマヌジャンのΔ　→　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

を用いればこれらを証明できるということであった．

　とはいえ自力では証明できなかったので，

　　［参］黒川信重・栗原将人・斉藤毅「数論�U，Fermatの夢と類体論」岩波書店

からの受け売りの証明を記しておく．

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

にｚ＝ｉを代入すると−１／ｉ＝ｉになることを利用するのである．

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

（証）Ｅ6(-1/z)＝z^6Ｅ6(z)にｚ＝ｉを代入すると，Ｅ6(i)＝i^6Ｅ6(i)＝−Ｅ6(i)よりＥ6(i)=0

　　Ｅ6(i)＝１−５０４Σσ5(n)ｅｘｐ(-2πn)＝１−５０４Σn^5/{exp(2πn)-1}

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

（証）Ｅ2(-1/z)＝z^2Ｅ2(z)+6z/πiにｚ＝ｉを代入すると，Ｅ2(i)＝-Ｅ2(i)+6/πよりＥ2(i)=3/π

　　Σσ(n)ｅｘｐ(-2πn)＝Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

（証）レルヒの公式より，Ｅ4(i)＝３（ω／π）^4

　　Ｅ4(i)＝１＋２４０Σσ3(n)ｅｘｐ(-2πn)＝１＋２４０Σn^5/{exp(2πn)-1}

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［補］アイゼンシュタイン級数

　ＳＬ（２，Ｚ）群上，最も単純な（基本的・古典的）保型形式は重さｋのアイゼンシュタイン級数

　　Ｅk＝１／２Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k

　　　　ｍ，ｎは互いに素，ｋは整数４，６，８，・・・（４以上の偶数）

です．すなわち，アイゼンシュタイン級数は変換公式

　　Ｅk(az+b/cz+d)=(cz+d)^kＥk(z)

　　　　ｃ，ｄは互いに素，ａｄ−ｂｃ＝１

を満たすというわけです．

　保型性の定義から

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)

はすぐわかりますが，前者は周期性，後者は双対性と理解することができます．

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)　　　　（周期性）

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

　この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むので，任意の保型形式はq=exp(2πiz)とするフーリエ展開をもち，

　　Ｅ4(z)＝１＋２４０Σσ3(n)ｑ^n

　　Ｅ6(z)＝１−５０４Σσ5(n)ｑ^n

　　Ｅ8(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ｑ^n

　　Ｅ10(z)＝１−２６４Σσ9(n)ｑ^n

　　Ｅ12(z)＝１＋６５５２０／６９１Σσ11(n)ｑ^n

　　Ｅ14(z)＝１−２４Σσ13(n)ｑ^n

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　　　σk(n)はｎの正の約数のｋ乗和

　ベルヌーイ数を用いると

　　Ｅk(z)＝１−２ｋ／ＢkΣσk-1(n)ｑ^n

また，ζ(1-k)＝−Ｂk／ｋにより

　　Ｅk(z)＝１−２／ζ(1-k)Σσk-1(n)ｑ^n

とも表されます．これらはすべてのσk(n)を教えてくれる母関数であり，それが保型性を示しているという事実が，モジュラー関数は深淵といわれる所以です．

　アイゼンシュタイン級数を用いると

　　Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24

　　　　 ＝q-24q^2+252q^3-1472q^4+5483q^5+･･･

は

　　Δ(z)＝1/1732(E4(z)^3-E6(z)^2)

と表されます．

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