(1,R)を焦点とする楕円・放物線・双曲線(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)を求めたい

軸はy=tan(mθ)x

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)を通る。

(x,y)を標準的な座標(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)とすると

X-1=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-R=[sinmθ, cosmθ][y]→(x,y)=(0,0)が(1,R)に移ってしまう。(x,y)=(p,0)が(1,R)に移らなければならない。

y^2=4px,x=pt^2,y=2pt,(p+α)^2=1+R^2であってp^2=1+R^2ではない

(x1,y1)における接線はy1y=2p(x+x1)

y=0→x=-x1

(-x1,0)から(x1,y1)までの距離は1・・・4ｘ^2+y^2=1

R=tan(mθ)=cot(θ/2)

cos(mθ)=sin(θ/2)

sin(mθ)=cos(θ/2)

y^2=4pxをy=tan(mθ)を軸とする放物線に写したい。

円の場合は(1,R)が焦点、(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)が接点となっていた。両方を同時に満たすことを考える

図を描いてみると両方を満たすことは不可能なのかもしれない・・・

焦点が(1,R)がないと面積計算は難しい

一方、接点が(1,0)にないと面積が大きくなってしまう。

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一方、焦点が(1,R)、(1,0)を通るという条件だけを使うと

y^2=4px

(0,0)→(α,αtan(mθ))=(α,β)

(p,0)→(1,R)

(x1,-y1)→(1,0),y1＞0

(x1,y1)→(cos2mθ,sin2mθ)

(-x1,0)→(0,0)も必要である

X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][y]

p,α,β,tは未知数、Rは既知

1-α=cosmθ・p

R-β=sinmθ・p・・・R=tan(mθ)と同値

1-α=cosmθ・x+sinmθ・y

0-β=sinmθ・x-cosmθ・y,y＞0

cos2mθ-α=cosmθ・x-sinmθ・y

sin2mθ-β=sinmθ・x+cosmθ・y,y＞0

α=cosmθ・x

β=sinmθ・x

1+cos2mθ-2α=2cosmθ・x→2(cosmθ)^2-2α=2cosmθ・x

1-cos2mθ=2sinmθ・y→2(sinmθ)^2=2sinmθ・y→y=sinmθ

sin2mθ-2β=2sinmθ・x→2sinmθcosmθ-2β=2sinmθ・x→2sinmθcosmθ-2αtanmθ=2sinmθ・x→2(cosmθ)^2-2α=2cosmθ・x

-sin2mθ=-2cosmθ・y→2sinmθcosmθ=2cosmθ・y→y=sinmθ

α=cosmθ・xを代入すると2(cosmθ)^2α=4cosmθ・x

x=(cosmθ)/2, y=sinmθ

α=(cosmθ)^2/2（合致）

β=sinmθ・(cosmθ)/2（合致）

p=1/cosmθ-(cosmθ)/2（合致）

x=pt^2,y=2pt

x/y=t/2

t=1/tanmθ

このとき

4x^2+y^2=1

になっているのだろうか？　

x=(cosmθ)/2, y=sinmθであるからOK

結局、計算が簡単になっただけで、結果は変わらない。

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X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][+/-√(4px)]

でもよいが

X-α=[cosmθ,-sinmθ][pt^2]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][2pt]としてy=tanθ・xとの交点(rcosθ,rsinθ)を求める。ｔは2次方程式の根の小さいほう

rcosθ-α=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt

rsinθ-β=sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt

rcosθ=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

rsinθ=sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β

tanθ=(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)/(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α), (α,β)は既知

を解いてtを求める。

(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)=tanθ(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α)

a=(sinmθ-tanθcosmθ)・p

b=(cosmθ+tanθsinmθ)・p

c=β-tanθα

r^2=(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α)^2+(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)^2

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反対方向に回転させた場合（あるいはYを反転させてもよい）

X-α=[cosmθ,-sinmθ][pt^2]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][2pt]

X=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

Y=-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β,ｔは2次方程式の根の大きいほう

(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)を結ぶ直線

Y=(rsin2θ-rsinθ)/(-rcos2θ-rcosθ)・(X-rcosθ)+rsinθ

との交点を求める

(Y-rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)=(rsin2θ-rsinθ)・(X-rcosθ)

(-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β-rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)=(rsin2θ-rsinθ)・(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α-rcosθ)

(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β+rsinθ)(rcos2θ+rcosθ)=(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α-rcosθ)(rsin2θ-rsinθ)

a={sinmθ(rcos2θ+rcosθ)-cosmθ(rsin2θ-rsinθ)}・p

b=[cosmθ(rcos2θ+rcosθ)+sinmθ(rsin2θ-rsinθ)}・p

c=(β+rsinθ)(rcos2θ+rcosθ)-(α-rcosθ)(rsin2θ-rsinθ)

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(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)の中点((rcosθ-rcos2θ)/2,((rsinθ+rsin2θ)/2)

からの距離の2乗

2Lと1+rの比較が問題となる

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