τ＝√p (p=1, mod 4)

τ＝-√p (p=3, mod 4)

τm＝Σ(0,m-1)exp(2πikt^2/m)

とおく。 τp(1)=τ

ガウスは

τmn(k)=τm(an)τn(am)

を示した。

もし、pとqがともに奇素数であるならば

τpq(1)=τp(q)τq(p)=(p/q)(q/p)τp(1)τq(1)

が成り立つことになり、したがって平方剰余の相互法則が証明されることになる。

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ζ=Σ(0,p-1)exp(2πi/p)とおくと、明らかにΣ(0,p-1)ζ^k=0が成り立つ

ガウスは 、G=Σ(0,p-1)ζ^k^2＝？を取り上げたのである

(-1/p)=1 (p=1, mod 4)

(-1/p)=-1 (p=3, mod 4)

(-1/p)p=p (p=1, mod 4)

(-1/p)p=-p (p=3, mod 4)

G^2=(-1/p)pが成り立つ

ガウスはGそのものをとらえるためにG^2を計算してその平方根を別途計算して、その平方根の符号を決定することにした

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4(x^p-1+x^p-2+・・・+1)=G(x)^2-(-1/p)pH(x)^2

これらのガウス周期がx^2+x+1/4{1-(-1/p)p}の根である

p=5→G(x)=2x^2+x+2,H(x)=x

p=7→G(x)=2x^3+x^2-x-2,H(x)=x^2+x

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