【７】２元３次形式（ケイリー）

　　ｆ＝ａｘ^3＋３ｂｘ^2ｙ＋３ｃｘｙ^2＋ｄｙ^3　　　（係数についての次数１）

　　Ｄ＝ａ^2ｄ^2−６ａｂｃｄ＋４ａｃ^3＋４ｂ^3ｄ−３ｂ^2ｃ^2　　　（判別式，次数４）

ｈ＝Ｈ／６^2　　　（Ｈはｆのヘシアン，次数２）

ｊ＝Ｊ／３　　　　（Ｊは（ｆ，ｈ）のヤコビアン，次数３）

　これらの間の関係は，６次の多項式

　　ｊ^2＝ｆ^2Ｄ−４ｈ^3

で与えられる．

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２変数２次形式ax^2+bxy+cy^2は変数の線形変換によってa'x^2+b'xy+c'y^2に移されたとする

このとき,b'^2-4a'c'=δ^2(b^2-4ac)

であり、b^2-4acは２次形式の不変式と呼ばれる。

一般に不変式は係数によって表現されるが、共変式は係数と変数で表現される。

たとえば、２変数３次形式fのただひとつの不変式d,３つの共変式f,H,Jで表現される環は

一つの等式4H^2=df^2-J^2を満たす。

このdとHは

3次式が相異なる３つの根を持つ条件:d≠0

3次式が2重根とそれと異なる根を持つ条件:d＝0，Ｈ≠0

3次式が3重根を持つ条件:d＝0＝Ｈ

など重要な意味を持っている。

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【８】正２０面体方程式

正２０面体の１２枚の面の中心、20個の頂点、３０個の辺の中点を複素平面上に写す

クラインはこの方程式を書き上げることに成功した。次数１２の多項式

f(z1,z2)=z1z2(z1^10+11z1z2-z2^10)

無限遠点を表すために斉次座標を用いている。z=z1/z2

ヘシアンの次数は２０である

H(f)=H(z1,z2)=-(z1^20+z2^20)+288(z1^15z2^5-z1^5z2^15)-494z1^10z2^10

また、この群の作用で不変な３０次の斉次多項式

T(z1,z2)=(z1^30+z2^30)+522(z1^25z2^5-z1^5z2^25)-10005(z1^20z2^10+z1^10z2^20)

これら３つの斉次形式は

T^2+H^3-1728f^5=0

を満たす。クラインはz:z-1:1=H^3:-T^2:1728f^5とおいたうえで

q(z)=H(z1,z2)^3/1728f(z1,z2)^5=H(z,1)^3/1728f(z,1)^5

と書き表し、

u=q(z)

を正２０面体方程式と呼んだ。

これはパラメータuに依拠する次数６０の方程式である

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