3次方程式で3つの実数根を持つものは必ず三角関数によって解くことができる。

与えられたsin3tの値に対してsintが満たす3次方程式の形に変換できるのである。

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【２】３次方程式の解法（ヴィエトの方法）

　ヴィエトは三角関数の３倍角公式を使って，カルダノの公式の弱点（還元できない場合）を克服しました．

　　ｘ^3＋ｐｘ＋ｑ＝０において，ｘ＝λｕとおくと，λ^3ｕ^3＋λｐｕ＋ｑ＝０

　ｐ＜０に注意しつつ，λ＝２√（−ｐ／３）とおくと，

　　４ｕ^3−３ｕ＋ｑ／２√（−ｐ／３）^3＝０

に変形される．ここで，ジラールの標準形ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｐｘ＋ｑでは，判別式は簡単な形で表されて，

　　Ｄ＝−（４ｐ^3＋２７ｑ^2）、3つの実数根を持つための必要十分条件はD>0,このときp＜０である。

したがって，

　　−１＜ｑ／２√（−ｐ／３）^3＜１

　　ｓｉｎ３θ＝ｑ／２√（−ｐ／３）^3

を満たすθが存在することになる．

　　４ｓｉｎ^3θ−３ｓｉｎθ＋ｓｉｎ３θ＝０

より，ｓｉｎθ，ｓｉｎ（θ＋２π／３），ｓｉｎ（２π／３−θ）が求める３根となる．

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