√２は方程式x^2-2=0を満たす代数的整数である。

しかし、代数的整数の和と積がともに代数的整数であることは自明なことではない。

√３＋√5＋√７は代数的整数であるが、それが満たすような次数８の多項方程式を見つけるには結構な時間がかかる。

3√３＋8√5＋7√７＋10√１２２１のモニック多項式を探すとなると、誰も取り掛かろうとはしないだろう。

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代数的数α＝√３＋√５を取り上げる。

(1)α^2＝8+2√15→√15が現れる。

(2)α^3＝3√３+9√５+15√３+5√５=18√３+14√５→新しい平方根は現れない

(3)α^4＝64+32√15+6＝124+32√15

(4)α^nを計算しても、１と３つの平方根√３、√５、√１５のほかに新しい平方根は現れない。すなわち、α^nは１と３つの平方根√３、√５、√１５の線形結合である

(5)以上のことにより、αは次数４の整数係数の多項方程式を満たす

α^2＝8+2√15

α^2-8=2√15

α^4-16α^2+64=60

α^4-16α^2+4=0

あるいは

√15=(α^2-8)/2

α^4＝124+32√15=124+32(α^2-8)/2=124+16(α^2-8)=124+16α^2-128

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α^3-18α=-4 √５

α^3-14α=4 √３

は使わなくてもよいのだろうか？

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代数的数β＝√３＋√５＋√７=α+√７を取り上げる。

(1)β^2＝α^2+α√7+7＝ 8+2√15+（√３＋√５）√７+7→√15、√21、√35が現れる。

(2)β^3＝α^3+3α^2√7+21α+7√7=18√３+14√５+3（ 8+2√15）√7+21（√３＋√５）+7√7→√105が現れる

(3)β^4＝・・・

(4)β^nを計算しても、１と7つの平方根√３、√５、√１５、√7、√21、√35、√105のほかに新しい平方根は現れない。すなわち、β^nは１と7つの平方根の線形結合である

(5)以上のことにより、βは次数8の整数係数の多項方程式を満たす

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α^n+a1α^n-1+・・・+an-1α+an=0、aiは整数

左辺は

一般に

b0+b1√3＋b2√5＋b3√7+b4√15+b5√21+b6√35+b7√105 の形になるが

b1=b2=b3=・・・=b70となるためには、次数8の整数係数の多項方程式であることが必要になる

次数7あるいは6の整数係数の多項方程式ではこれが満たされないのである

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