方程式

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^3−（ｓ−３）ｘ^2−ｓｘ−１＝０

に対して，

　　ｆ（−１／（ｘ＋１））＝（−１／（ｘ＋１））^3ｆ（ｘ）

が成り立つ．

　したがって，ｆ（α）＝０であれば，ｆ（−１／（α＋１））＝０．さらにｘ＝−１／（α＋１）を−１／（ｘ＋１）に代入すれば，ｆ（−（α＋１）／α）＝０．さらにｘ＝−（α＋１）／αを−１／（ｘ＋１）に代入すれば，ｆ（α）＝０に戻るので，Ｑ（α）は巡回３次体と呼ばれる．

　この方程式の実根をαで表すとき，数体

　　Ｑ（α）＝｛ａ＋ｂα＋ｃα^2｜ａ，ｂは有理数｝

は他の二つの根を含んでいる．すなわち，他の２根は

　　β＝−１／（α＋１），γ＝−（α＋１）／α

で与えられ，最小分解体は

　　Ｑ（α）＝Ｑ（β）＝Ｑ（γ）

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　巡回群Ｃnはよいとして，二面体群Ｄnには勘違いがあるかもしれない．

Ｄ3（＝Ｓ3）：ｘ^3−ｓｘ−ｓ＝０

　３次方程式の根の公式より，根を

　　α＝（−ｃ／２＋（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）^1/2）^1/3＋（−ｃ／２−（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）^1/2）^1/3

で表す．ｘ^3−ｓｘ−ｓ＝０の場合，

　　α＝（ｓ／２＋（（ｓ／２）^2＋（−ｓ／３）^3）^1/2）^1/3＋（ｓ／２−（（ｓ／２）^2＋（−ｓ／３）^3）^1/2）^1/3

　判別式は

　　Ｄ（ｆ）＝６^2（（ｓ／２）^2＋（−ｓ／３）^3）＝（４ｓ^3−２７ｓ）＝ｓ^2（４ｓ−２７）

判別式Ｄ（ｆ）＝０はこの３次方程式が重根をもつための必要十分条件である．

また，Ｄ（ｆ）＞０のとき，ｆ（ｘ）＝０は相異なる３実根をもつ．

　この３次体が巡回３次体であるための必要十分条件はｓ^2（４ｓ−２７），したがって（４ｓ−２７）がＱのなかで平方数になっていることである．すなわち，因数（４ｓ−２７）がＱ内で平方（例えばｓ＝７，３１／４，９，４３／４，１３，・・・）であれば，３次体は巡回３次体である．ｓ＝０，２７／４の場合，判別式が０になって重根をもつ．

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　正ｎ角形の表と裏を区別することから二面体群と呼ばれるが，その位数は２ｎである．したがって，Ｄ3の位数は６である．

　群でなく体の話をするが，体Ｋでは四則演算が与えられており，加法と乗法はともに結合法則と交換法則を満たし，両者は分配法則で結ばれている．また，加法と乗法はそれぞれ零元と単位元と逆元（加法については−ａ，乗法についてはａ^-1）をもつ．

　二面体群Ｄ3とは位数６の集合｛α，β，γ，−α，−β，−γ｝あるいは

　　｛α，β，γ，α^-1，β^-1，γ^-1｝＝｛λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ｝

のことである。３次方程式であるから根は３つしか存在しないが、その置換は６通り＝３根α，β，γの置換６個のすべて（＝Ｓ3）．

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