３次方程式ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｂｘ＋ｃ＝０のひとつの根をαで表す．

　　ｘ^3＋ｂｘ＋ｃ＝（ｘ−α）（ｘ^2＋αｘ＋α^2＋ｂ）

より，他の２根は

　　−α／２±（−（３α^2＋４ｂ）^1/2／２

となる．

　また，最小分解体は

　　Ｑ（α，β）＝Ｑ（β，γ）＝＝Ｑ（γ，α）＝Ｑ（α，Ｄ（ｆ））

となり，３次方程式の構造とその最小分解体が明確に対応していることがわかる．

　ところで，ｊ-不変量は３次曲線の構造を与えるひとつの例であり，射影変換によって互いに写り合う３次曲線は同型とみなされるのである．

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【１】群の例

　群とは集合に演算を入れたものです．６つの有理関数

　　ｆ1(x)=ｘ，ｆ2(x)=１−ｘ，ｆ3(x)=１／ｘ，ｆ4(x)=１／（１−ｘ），

　　ｆ5(x)=（ｘ−１）／ｘ，ｆ6(x)=ｘ／（ｘ−１）

を考えます（ｘ≠０，１）．２つの関数の合成，たとえば，

　　ｆ2・ｆ3(x)=ｆ2（ｆ3(x)）=１−１／ｘ=（ｘ−１）／ｘ=ｆ5(x)

ですから，ｆ2・ｆ3＝ｆ5とします．

　すると，この６つの関数は群となります．

　　　 　｜　ｆ1　　ｆ2　　ｆ3　　ｆ4　　ｆ5　　ｆ6

　　−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｆ1　｜　ｆ1　　ｆ2　　ｆ3　　ｆ4　　ｆ5　　ｆ6

　　ｆ2　｜　ｆ2　　ｆ1　　ｆ5　　ｆ6　　ｆ3　　ｆ4

　　ｆ3　｜　ｆ3　　ｆ4　　ｆ1　　ｆ2　　ｆ6　　ｆ5

　　ｆ4　｜　ｆ4　　ｆ3　　ｆ6　　ｆ5　　ｆ1　　ｆ2

　　ｆ5　｜　ｆ5　　ｆ6　　ｆ2　　ｆ1　　ｆ4　　ｆ3

　　ｆ6　｜　ｆ6　　ｆ5　　ｆ4　　ｆ3　　ｆ2　　ｆ1

　なお，位数がｎの有限体はｎが素数と素数の累乗の場合だけに限られます．すなわち，位数が２，４，８，１６，３２，・・・の有限体，３，９，２７，８１，２４３，・・・の有限体はあるのですが，６や１５の有限体はないのです．

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【２】３次曲線の射影変換

　３次曲線は，射影変換を用いれば次のいずれかに変換されます．

　　(1)ｙ^2＝ｘ^3

　　(2)ｙ^2＝ｘ^2（ｘ−１）

　　(3)ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）　　λ≠０，１

　(1)は「く」の字型曲線で原点で尖点をもちます．(2)は「の」の字型曲線で原点を通ったところでループを描いて自分自身と交差しますから，原点が２重点となります．(3)はループと弓形曲線の２つに分離します．すなわち，(1)(2)は特異点をもち，(3)は非特異です．したがって，滑らかな非特異３次曲線は(3)の形に表せます．これらは特異点による分類といってもよいのですが，射影変換によって互いに写り合う３次曲線は同型とみなされます．

（証）３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線

　　ａ1ｘ^3＋ａ2ｙ^3＋ａ3ｘｙ^2＋ａ4ｘ^2ｙ＋ａ5ｘ^2＋ａ6ｙ^2＋ａ7ｘｙ＋ａｘ8＋ａ9ｙ＋ａ10＝０

で，一般式の項数は１０になります．

　３次以上の曲線を実数の範囲で考察するのは大変厄介であり，ｘ，ｙを複素数で考察すると理論が単純化されます．そこで，変数を複素数の範囲で考えると，Ｃ上７個の関数１，ｆ，ｇ，ｆ^2，ｆｇ，ｆ^3，ｇ^2は１次従属ですから，ある複素数の組（ａ0，・・・，ａ6）が存在して，

　　ａ0ｇ^2＋ａ1ｆ^3＋ａ2ｆｇ＋ａ3ｆ^2＋ａ4ｇ＋ａ5ｆ＋ａ6＝０

を満たします．ここで，ａ0＝１としてよく，楕円曲線はＣ^2上の３次曲線

　　ｙ^2＋ａ2ｘｙ＋ａ4ｙ＝−ａ1ｘ^3−ａ3ｘ2−ａ5ｘ−ａ6

の射影化と同型です．

　これをもう少し簡単な形に変形すると

　　ｙ^2＋ａ2ｘｙ＋ａ4ｙ＝（ｙ＋ａ2ｘ／２＋ａ4／２）^2−ａ2^2ｘ^2／４−ａ2ａ4ｘ／２−ａ4^2／４

　　ｙ1＝ｙ＋ａ2ｘ／２＋ａ4／２ｘ，ｘ1＝ｘ3√（−ａ1）

と１次変換すれば

　　ｙ1^2＝ｘ1^3＋ｂ1ｘ1^2＋ｂ2ｘ1＋ｂ3＝（ｘ1−α1）（ｘ2−α2）（ｘ3−α3）

　ここで，Ｃ上の２点α1，α2を０，１に変換する１次変換とｙ1の定数倍により，ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）という形に変形できます．

　　［参］安藤哲哉「代数曲線・代数曲面入門」数学書房

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