ここでは、連分数展開とペル方程式:x^2-ay^2=1の解法について整理しておきたい。

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自然数の平方根の連分数展開には周期性と対称性が認められる。たとえば、a=19の場合

√19=[4:2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,・・・]

2,1,3,1,2,8の順に繰り返される

2,1,3,1,2は左右対称である。

8は初項4の2倍である

この連分数を8の手前までで打ち切ると

170/39＝[4:2,1,3,1,2]が得られる.

x=170,y=39はx^2-19y^2=1の解である。

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xn+yn√19＝(170+39√19)^nとおくと

xn-yn√19＝(170-39√19)^nとなる。

このとき、xn＾2-19yn＾2＝1であるから、(xn,yn)もまたx^2-19y^2=1の解である。

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