【３】４次方程式の解法（オイラーの方法）

４次方程式：

　　ｘ^4＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０

では，これがもし因子分解されるとすれば，

　　（ｘ^2＋ｕｘ＋λ）（ｘ^2ーｕｘ＋μ）＝０

の形に表される。オイラーはこれからｕが方程式

　　ｕ^6＋2ｂｕ^4＋（ｂ^2−４ｄ）ｕ^2ーｃ^2＝０

を満たすことを導き出した。この方程式はｕ^2についての３次方程式であるから解くことができる。

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オイラーは次数が８と１６の場合も同様に処理する。一般に次数が２^kの場合、ニュートンにさかのぼる対称式の理論を引きだしてくることができる。

ｘ^4＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝（ｘ^2＋ｕｘ＋λ）（ｘ^2ーｕｘ＋μ）

＝（ｘ−α1）（ｘ−α2）（ｘ−α3）（ｘ−α4）

からｕ＝α1＋α2（２つの根の和）でなければならない。

実際、置換の可能性としては

ｕ1＝α1＋α2＝ｐ＝ーｕ4＝ー（α3＋α4）

ｕ2＝α1＋α3＝ｑ＝ーｕ5＝ー（α2＋α4）

ｕ3＝α1＋α4＝ｒ＝ーｕ6＝ー（α2＋α3）

であり、したがって、ｕは等式

（ｕ^2ーｐ^2）（ｕ^2ーｑ^2）（ｕ^2ーｒ^2）＝0

を満たす。偶数次数で負の定数項-p^2q^2r^2をもつことから,ｐｑｒは実数であって

ｐｑｒ＝（α1＋α2）（α1＋α3）（α1＋α4）

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