はじめのp-3個のベルヌーイ数のうちのどれか一つの分子を割り切る素数。

３７はB32の分子を割り切る

５９はB44の分子を割り切る

６７はB58の分子を割り切る

６９１はB12の分子。したがって、６９１は非正則な素数である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】クンマーの定理

フェルマーの最終定理の最初のブレークスルーは１８５１年，クンマーによってなされました．クンマーは円分体の整数論の研究に専念し，正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立することを示したのです．正則素数ｐはＢp-3 までのベルヌーイ数Ｂ1，Ｂ2，・・・，Ｂp-3 の分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．

クンマーの定理

フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，

　　Ｂk＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　０＜ｋ＜１／２（ｐ−３），Ｂ1＝０，・・・，Ｂp-3＝０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ｘ以下の非正則素数の数をＩ（ｘ）と記すと

　　Ｉ（ｘ）／π（ｘ）〜1-exp(-1/2)＝0.39346･･･

正則素数の密度はexp(-1/2)．イェンゼンは非正則素数が無限個あることを証明した．一方，正則素数が無限個あることはいまだ証明されていない．

　マッキントッシュはベルヌーイ数Ｂp-3の分子を割り切る素数はウォルステンホルム素数であることを示した．ウォルステンホルム素数でいまのところ既知のものは１６８４３と２１２４６７９だけで，ｐ＝１６８４３，２１２４６７９はＢp-3の分子を割り切るのである．

クンマーの定理により，新たに

　　ｘ^11＋ｙ^11＝ｚ^11

　　ｘ^13＋ｙ^13＝ｚ^13

　　・・・・・・・・・・

の場合の解の非存在がわかったわけですが，たとえば，６９１の場合，

　　ｘ^691＋ｙ^691＝ｚ^691

に自然数解のないことはクンマーの定理からは証明できません．６９１は非正則素数６９１であり，ζ(12)／π^12の分子が６９１で割り切れるからです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝