カギはその分け方のあった。ここでは原始根に関する周期性を調べてみたい．

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　フェルマーの小定理とよばれるものは，

　　ａ^p＝ａ　　（ｍｏｄｐ）

　　ａ^p-1＝１　　（ｍｏｄｐ）

すなわち，ｐを素数とするとａをどんな数にとっても余りが１になるというものである．

　ａをランダムに選んでいって，それでも余りが１になればｐは素数の候補となるし，１以外の余りがひとつでも出ればｐは合成数であることになる．

　とくに

　　ａ^p＝ａ　　（ｍｏｄｐ）

　　ａ^p-1＝１　　（ｍｏｄｐ）

の後者はｚ^n＝１という円分方程式（円周等分方程式）との関係も取りざたされるところである．そこで，・・・

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　ｎを奇素数とする，ｎで割り切れない任意の数ａに対し，

　　ａ，ａ^2，ａ^3，・・・，ａ^n-1　　（ｍｏｄｎ）

を作る．このとき，常に

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

が成立するが，ａのベキの次数がｎ−１に到達する以前に，小さな次数ｋに対して　

　　ａ^k＝１　　（ｍｏｄｎ）

が成立することがある．

　逆に，ｎ−１で初めて

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

が起こることもあり，そのような数ａを法ｎに関する原始根とよぶ．すなわち，原始根の周期はｎ−１といえるのである．

　例として，ｎ＝１９，ａ＝２の場合を調べてみると

　　２^1＝２，２^2＝４，２^3＝８，２^4＝１６，２^5＝１３，２^6＝７

　　２^7＝１４，２^8＝９，２^9＝１８，２^10＝１７，２^11＝１５，

　　２^12＝１１，２^13＝３，２^14＝６，２^15＝１２，２^16＝５，

　　２^17＝１０，２^18＝１

→２は法１９に関する原始根である．

　ｎ＝１９，ａ＝３の場合を調べてみると

　　３^1＝３，３^2＝９，３^3＝８，３^4＝５，３^5＝１５，３^6＝７

　　３^7＝２，３^8＝６，３^9＝１８，３^10＝１６，３^11＝１０，

　　３^12＝１１，３^13＝１４，３^14＝４，３^15＝１２，３^16＝１７

　　３^17＝１３，３^18＝１

→３は法１９に関する原始根である．

　ｎ＝１９，ａ＝４の場合を調べてみると

　　４^1＝４，４^2＝１６，４^3＝７，４^4＝９，４^5＝１７，４^6＝１１

　　４^7＝６，４^8＝５，４^9＝１

→４は法１９に関する原始根ではない．

　ｎ＝１９，ａ＝５の場合を調べてみると

　　５^1＝５，５^2＝６，５^3＝１１，５^4＝１７，５^5＝９，５^6＝７

　　５^7＝１６，５^8＝４，５^9＝１

→５は法１９に関する原始根ではない．

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　どのような奇素数ｎに対しても法ｎに関する原始根は存在する（ガウス）．さらに，ガウスは円分方程式：ｚ^19＝１の１の１９乗根

　　ｚ＝ｃｏｓ（２π／１９）＋ｉｓｉｎ（２π／１９）

の解法がｎ＝１９に対してｎ−１＝３・３・２と素因数分解されることから，次数１９の円分方程式が２つの３次方程式とひとつの２次方程式の解法に帰着することを示している．

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　　２^1＝２，２^2＝４，２^3＝８，２^4＝１６，２^5＝１３，２^6＝７

　　２^7＝１４，２^8＝９，２^9＝１８，２^10＝１７，２^11＝１５，

　　２^12＝１１，２^13＝３，２^14＝６，２^15＝１２，２^16＝５，

　　２^17＝１０，２^18＝１

原始根の３乗2^3=8が位数6をもつことに注目して、２つおきに選ぶと

P={2,16,14,17,3,5},P'={4,13,9,15,6,10},P"={8,7,18,11,12,1}

この後ただひたすら代数的な計算をおこなうことによって、

P^2=2P+P'+2P"+6

P^3+P^2-6P+7=0

P'^3+P'^2-6P'+7=0

P"^3+P"^2-6P"+7=0が得られる。

Q={18,1},Q’={8,11},Q"={7,12}

Q+Q'+Q"=P

QQ'+Q'Q"+Q"Q=-P'-1

QQ'Q"=P'+2

x^3-Px^2-(P'+1)x-(P'+2)=0

x^2-Qx+1=0

このようにして単位１の１９乗根の自明でない１８個がが２つの３次方程式とひとつの２次方程式を解くことによってすべて見つけられるのである。

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