カギはその分け方のあった。ここでは原始根に関する周期性を調べてみたい．

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　フェルマーの小定理とよばれるものは，

　　ａ^p＝ａ　　（ｍｏｄｐ）

　　ａ^p-1＝１　　（ｍｏｄｐ）

すなわち，ｐを素数とするとａをどんな数にとっても余りが１になるというものである．

　ａをランダムに選んでいって，それでも余りが１になればｐは素数の候補となるし，１以外の余りがひとつでも出ればｐは合成数であることになる．

　とくに

　　ａ^p＝ａ　　（ｍｏｄｐ）

　　ａ^p-1＝１　　（ｍｏｄｐ）

の後者はｚ^n＝１という円分方程式（円周等分方程式）との関係も取りざたされるところである．そこで，・・・

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　ｎを奇素数とする，ｎで割り切れない任意の数ａに対し，

　　ａ，ａ^2，ａ^3，・・・，ａ^n-1　　（ｍｏｄｎ）

を作る．このとき，常に

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

が成立するが，ａのベキの次数がｎ−１に到達する以前に，小さな次数ｋに対して　

　　ａ^k＝１　　（ｍｏｄｎ）

が成立することがある．

　逆に，ｎ−１で初めて

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

が起こることもあり，そのような数ａを法ｎに関する原始根とよぶ．すなわち，原始根の周期はｎ−１といえるのである．

　例として，ｎ＝７，ａ＝３の場合を調べてみると

　　３^1＝３，３^2＝２，３^3＝６，３^4＝４，３^5＝５，３^6＝１

→３は法７に関する原始根である．　

積にαが残らないための唯一の方法が3^jのｊが奇数番目と偶数番目に分けて

β＝α＋α^2＋α^4

β~＝α^3＋α^5＋α^6の組み合わせなのであるが、この分け方の背後にある数学的構造の根拠となるのが

「３は法７に関する原始根である」ことである。

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　ｎ＝１３，ａ＝２の場合を調べてみると

　　２^1＝２，２^2＝４，２^3＝８，２^4＝３，２^5＝６，２^6＝１２

　　２^7＝１１，２^8＝９，２^9＝５，２^10＝１０，２^11＝７，２^12＝１

→２は法１３に関する原始根である．

β＝α＋α^3＋α^4＋α^9＋α^10＋α^12

β~＝α^2＋α^5＋α^6＋α^72＋α^8＋α^11

とおいたが、積の計算結果にαが残らないのがこの分け方だけなのである

さらに偶数を4で割って余りが0か2でわけること

奇数を4で割って余りが0か2でわけることが

γ＝α＋α^3＋α^9、δ＝α^4＋α^10＋α^12とおくことに対応しているのである

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