φ＝（√５＋１）／２は２次方程式ｘ^2−ｘ−１＝０の根であり，

　　φ＝１＋１／φ

このφの値を右辺のφに入れれば

　　φ＝１＋１／（１＋１／φ）

さらに，この右辺のφに代入し，・・・ということを繰り返せば

　φ＝１＋１／（１＋１／（１＋１／（１＋１／（１＋１／１＋・・・）

となります．

すなわち，

　　（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］

なのですが，黄金比はユークリッドの互除法によって「１」だけを使って無限連分数に展開できる無理数であり，その意味では最も基本的で最もゆっくり収束する無理数であり，最もシンプルなフラクタル生成装置ともいえます．

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　連分数とは，

ａ1／（ｂ1＋ａ2／（ｂ2＋ａ3／（ｂ3＋ａ4／（ｂ4＋ａ5／ｂ5＋・・・）

のような分数を続けた式で，実用上は最初にａ0＋をつけた形が使われます．

整数論で使われる連分数は普通，ａk＝１，ｂkが正の整数である標準連分数です．

　連分数の第ｎ近似分数ｗnは

　　ｐ-1＝１，ｐ0＝０，ｐk＝ａkｐk-2＋ｂkｐk-1

　　ｑ-1＝０，ｑ0＝１，ｑk＝ａkｑk-2＋ｂkｑk-1　　　(k=1,2,･･･)

をつくると，ｗn＝ｐn／ｑnとして計算できます．ｗnの値だけが必要ならば，除法は最後の１回だけで済むというわけです．そして，標準連分数はすべて収束し，その際，近似分数列｛ｗn｝は振動しつつ，交互に上下から収束する形になります．

　　ｐ-1＝１，ｐ0＝０，ｐk＝ｐk-2＋ｂkｐk-1

　　ｑ-1＝０，ｑ0＝１，ｑk＝ｑk-2＋ｂkｑk-1　　　(k=1,2,･･･)

　　√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］の場合は

　　ｐ0＝１，ｐ1＝１，ｐk＝ｐk-2＋２ｐk-1

　　ｑ0＝０，ｑ1＝１，ｑk＝ｑk-2＋２ｑk-1　

　　ｐk＝１，１，３，７，１７，４１，９９

　　ｑk＝０，１，２，５，１２，２９．７０

となって、ｘ^2-２ｙ^2＝１とｘ^2-２ｙ^2＝-１の解を交互に対応する。

７^2-２・５^2＝-１、１７^2-２・１２^2＝１

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