［Ｑ］ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2を４で割った余りと，ｘ，ｙ，ｚのうちの奇数の個数は一致する．

［Ａ］（２ｎ）^2＝４ｍ

　　　（２ｎ＋１）^2＝４ｎ^2＋４ｎ＋１＝４ｍ＋１

３個とも奇数→ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝４ｍ＋３

２個が奇数→ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝４ｍ＋２

１個が奇数→ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝４ｍ＋１

０個が奇数→ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝４ｍ

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［Ｑ］ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝８ｍ＋７を満たすｘ，ｙ，ｚは存在しない．

［Ａ］ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝８ｍ＋７を満たすｘ，ｙ，ｚが存在すると仮定する（背理法）．

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝８ｍ＋７＝４（２ｍ＋１）＋３

より，３個とも奇数であるから，ｘ＝２ｐ＋１，ｙ＝２ｑ＋１，ｚ＝２ｒ＋１とおくことができる．

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝４ｐ（ｐ＋１）＋４ｑ（ｑ＋１）＋４ｒ（ｒ＋１）＋３＝８ｍ＋７

より

　　ｐ（ｐ＋１）＋ｑ（ｑ＋１）＋ｒ（ｒ＋１）＝２ｍ＋１

左辺は偶数，右辺は奇数であるから矛盾．

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