ガウスは１７９６年の日記に

　　「わかった！　ｎ＝△＋△＋△」

と書いていますが，それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味です．

　ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて，３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」を用いると「ｎ＝△＋△＋△」を簡単に示すことができます．

　（証明）４^k（８ｎ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2と書けます．このとき，ｘ＝２ｐ＋１，ｙ＝２ｑ＋１，ｚ＝２ｒ＋１とおくと

　　ｎ＝ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２＋ｒ（ｒ＋１）／２

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［１］ガウス・ルジャンドルの定理（３平方和定理）

　４ｎ＋３の形の素数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，

　　「８ｎ＋７の形の素数は３個の平方数の和では表されない．」

　４の非負のベキをかけたときの自然数ｍ≠４^k（８ｎ＋７）はｍが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．すなわち，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠４^k（８ｎ＋７）

のときに限って整数解をもちます．

　このことは、平均して全整数の

　　１／８＋１／４・８＋１／１６・８＋・・・＝１／６

は三平方和で表すことができないことを意味しています．

　ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論として，この結果を得ています．

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