２元２次形式のディオファントス方程式

　　ａｘ^2＋２ｈｘｙ＋ｂｙ^2＝ｎ　　　（ａ，ｂ，ｈ，ｎは整数）

　　［ｘ，ｙ］［ａ，ｈ］［ｘ］＝ｎ

　　　　　　　［ｈ，ｂ］［ｙ］

が整数解（ｘ，ｙ）をもつか否かを判定し，それを決定するためのアルゴリズムが存在します（２次形式の同値類を決定する方法も存在する）．

　しかし，一般に３変数以上，３次以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，たとえば，３元３次形式：ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３＝０が（１，１，１），（４，４，−５）とその並び換え以外の整数解をもつかどうかすらわかっていません．

　ロシア人のマチアセビッチにより，すべてのディオファントス方程式（不定方程式）の解の存否を判定するアルゴリズムが存在しないことが証明されているのです

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