ｎ＜105のとき、Φn（ｘ）に現れる０以外の係数は±１だけであるが、

Φ105（ｘ）には２か所に-２が現れる。ほかの係数が現れる最低次数のの円分多項式である。

その理由は１０５が３つの奇素数の積である最小の整数であるからである。

それとは直接関係ないと思われるが…

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　中国剰余定理「ｍ1〜ｍkを２つずつ互いに素とする．このとき，

　　ｘ＝ｃ1　　（ｍｏｄ　ｍ1）

　　・・・・・・・・・・・・・

　　ｘ＝ｃk　　（ｍｏｄ　ｍk）

はΠｍiを法として，ただひとつの解をもつ」の練習問題を掲げておく．

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［Ｑ］連立合同式

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ４）

　　ｘ＝３　　（ｍｏｄ５）

を計算しよう．

ｘ＝ｘ1＋３ｘ2＋１２ｘ3とおいて，最初の式に代入する．→ｘ1＋３ｘ2＋１２ｘ3＝ｘ1＝２　　（ｍｏｄ３）→ｘ1＝２がこの合同式の解である．

→ｘ＝２＋３ｘ2＋１２ｘ3を２番目の式に代入する．→２＋３ｘ2＋１２ｘ3＝２＋３ｘ2＝１　　（ｍｏｄ４）→３ｘ2＝−１　　（ｍｏｄ４）→ｘ2＝１がこの合同式の解である．

→ｘ＝５＋１２ｘ3を３番目の式に代入する．→５＋１２ｘ3＝３　　（ｍｏｄ５）→１２ｘ3＝−２　　（ｍｏｄ５）→ｘ3＝４がこの合同式の解である．

　ｘ＝５３となるので，中国剰余定理より連立合同式の解は

　　ｘ＝５３　　（ｍｏｄ６０）

である．

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【１】百五減算

　上のような問題を以下のように書き換えることにする．

　ｐ1，ｐ2，ｐ3が互いに素であるとき，ｐ1で割って余りがｒ1，ｐ2で割って余りがｒ2，ｐ3で割って余りがｒ3になる自然数Ａは一意に定まる．さらに，ｐ1で割って１余る数かつｐ2ｐ3の倍数をｘ，ｐ2で割って１余る数かつｐ3ｐ1の倍数をｙ，ｐ3で割って１余る数かつｐ1ｐ2の倍数をｚとするとき，特殊解

　　Ａ＝ｘｒ1＋ｙｒ2＋ｚｒ3

が得られる．

［Ｑ］連立合同式

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ５）

　　ｘ＝５　　（ｍｏｄ７）

を計算しよう．

　ｐ1で割って１余る数かつｐ2ｐ3の倍数をｘ＝７０

　ｐ2で割って１余る数かつｐ3ｐ1の倍数をｙ＝２１

　ｐ3で割って１余る数かつｐ1ｐ2の倍数をｚ＝１５

　　Ａ＝ｘｒ1＋ｙｒ2＋ｚｒ3＝７０・２＋２１・１＋１５・５＝２３６

　　ｐ1ｐ2ｐ3＝１０５

　　２０６−１０５・２＝２６

［Ｑ］連立合同式

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝３　　（ｍｏｄ５）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ７）

を計算しよう．

　ｐ1で割って１余る数かつｐ2ｐ3の倍数をｘ＝７０

　ｐ2で割って１余る数かつｐ3ｐ1の倍数をｙ＝２１

　ｐ3で割って１余る数かつｐ1ｐ2の倍数をｚ＝１５

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ４）

　　ｘ＝３　　（ｍｏｄ５）

　　Ａ＝ｘｒ1＋ｙｒ2＋ｚｒ3＝７０・２＋２１・１＋１５・２＝１９１

　　ｐ1ｐ2ｐ3＝１０５

　　１９１−１０５＝８６

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