pを奇素数、ζ＝exp(2πi/p)とする。

ｘ^p+ｙ^p＝（ｘ+ｙ）（ｘ^(p-1)-ｘ^(p-2)ｙ+ｘ^(p-3)ｙ^2-・・・+ｙ^(p-1)）

＝（ｘ+ｙ）（ｘ＋ζｙ）（ｘ＋ζ^2ｙ）・・・（ｘ＋ζ^(p-1)ｙ）

となるが、1次式の積まで分解しなくても

ｘ^p+ｙ^p＝（ｘ+ｙ）（ｘ^(p-1)-ｘ^(p-2)ｙ+ｘ^(p-3)ｙ^2-・・・+ｙ^(p-1)）

＝（ｘ+ｙ）（A^2+pB^2)または＝（ｘ+ｙ）（A^2-pB^2)

となる半整数係数(p-1)/2次同次多項式A,Bが存在する。

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ｘ^3+ｙ^3＝(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-3)B)(A-√(-3)B)

ｘ^5+ｙ^5＝(x+y)(A^2-5B^2)=(x+y)(A+√5B)(A-√5)B)

ｘ^7+ｙ^7＝(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-7)B)(A-√(-7)B)

ｘ^11+ｙ^11＝(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-11)B)(A-√(-11)B)

ｘ^13+ｙ^13＝(x+y)(A^2-13B^2)=(x+y)(A+√13B)(A-√13)B)

ｘ^17+ｙ^17＝(x+y)(A^2-17B^2)=(x+y)(A+√17B)(A-√17)B)

ｘ^19+ｙ^19＝(x+y)(A^2+19B^2)=(x+y)(A+√(-19)B)(A-√(-19)B)

すなわち

ｐ＝4ｋ+3型素数ならば（ｘ+ｙ）（A^2+pB^2)

ｐ＝4ｋ+1型素数ならば（ｘ+ｙ）（A^2-pB^2)

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exp(2πi/17)のとき

F17(x,y)=(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)(x+ζ^7y)(x+ζ^8y)(x+ζ^9y)(x+ζ^10y)(x+ζ^11y)(x+ζ^12y)(x+ζ^13y)(x+ζ^14y)(x+ζ^15y)(x+ζ^16y)=(A+√17B)(A-√17B)となるように

(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)(x+ζ^7y)(x+ζ^8y)(x+ζ^9y)(x+ζ^10y)(x+ζ^11y)(x+ζ^12y)(x+ζ^13y)(x+ζ^14y)(x+ζ^15y)(x+ζ^16y)を8個ずつの組に分けたい。

ｙ^8の係数が1＝ζ^68になるようにすればいいから

(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^4y)(x+ζ^8y)(x+ζ^9y)(x+ζ^13y)(x+ζ^15y)(x+ζ^16y)=x^8+(ζ+ζ^2+ζ^4+ζ^8+ζ^9+ζ^13+ζ^15+ζ^16)x^7y+(2-ζ-ζ^2-ζ^4-ζ^8-ζ^9-ζ^13-ζ^15-ζ^16)x^6y^2+(ζ+ζ^2+ζ^4+ζ^8+ζ^9+ζ^13+ζ^15+ζ^16-3)x^5y^3-2(ζ+ζ^2+ζ^4+ζ^8+ζ^9+ζ^13+ζ^15+ζ^16)x^4y^4+(ζ+ζ^2+ζ^4+ζ^8+ζ^9+ζ^13+ζ^15+ζ^16-3)x^3y^5+(2-ζ-ζ^2-ζ^4-ζ^8-ζ^9-ζ^13-ζ^15-ζ^16)x^2y^6+(ζ+ζ^2+ζ^4+ζ^8+ζ^9+ζ^13+ζ^15+ζ^16)xy^7+y^8

(x+ζ^3y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)(x+ζ^7y)(x+ζ^10y)(x+ζ^11y)(x+ζ^12y)(x+ζ^14y)=x^8+(ζ^3+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^10+ζ^11+ζ^12+ζ^14)x^7y+(2-ζ^3-ζ^5-ζ^6-ζ^7-ζ^10-ζ^11-ζ^12-ζ^14)x^6y^2+(ζ^3+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^10+ζ^11+ζ^12+ζ^14-3)x^5y^3-2(ζ^3+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^10+ζ^11+ζ^12+ζ^14)x^4y^4+(ζ^3+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^10+ζ^11+ζ^12+ζ^14-3)x^3y^5+(2-ζ^3-ζ^5-ζ^6-ζ^7-ζ^10-ζ^11-ζ^12-ζ^14)x^2y^6+(ζ^3+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^10+ζ^11+ζ^12+ζ^14)xy^7+y^8

(ζ+ζ^2+ζ^4+ζ^8+ζ^9+ζ^13+ζ^15+ζ^16)=(-1+√(17))/2=(A+√(17)B)

(ζ^3+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^10+ζ^11+ζ^12+ζ^14)=(-1-√(17))/2=(A-√(17)B)

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正17角形は定規とコンパスで作図できる（ガウス）

ζ＝exp(2πi/17)=cos(2π/17)+isin(2π/17)

α=ζ+ζ^16

α'=ζ^4+ζ^13

β=ζ+ζ^4+ζ^13+ζ^16

β'=ζ^2+ζ^8+ζ^9+ζ^15

γ=ζ+ζ^2+ζ^4+ζ^8+ζ^9+ζ^13+ζ^15+ζ^16

γ'=ζ^3+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^10+ζ^11+ζ^12+ζ^14

とおく。

γ＋γ'=-1

γ・γ'=-4

ゆえにγはx^2+x-4=0の根で、γ＝(-1+√(17))/2、γ'=(-1-√(17))/2

γ＝2{cos(2π/17)+cos(4π/17)+cos(8π/17)+cos(16π/17)}

β＋β'=γ

α・α'=-1

ゆえにβはx^2-γx-1=0の根で、β＝(-1+√(17)+√(34-2√17))/4

β＝2{cos(2π/17)+cos(8π/17)}

α＋α'=β

α・α'=ζ^3+ζ^5+ζ^12+ζ^14＝β''

β'''=ζ^6+ζ^7+ζ^10+ζ^11

とおくと

β''+β'''=γ'

β''・β'''=-1

ゆえにβ''はx^2-γ'x-1=0の根で、β''＝(-1-√(17)+√(34+2√17))/4

αはx^2-βx+β''=0の根で、α＝(-1+√(17)+√(34-2√17)+2√（(17+3√17+√(170-26√17）-4√(34+2√17)))/8

α＝2{cos(2π/17)}

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