pを奇素数、ζ＝exp(2πi/p)とする。

ｘ^p+ｙ^p＝（ｘ+ｙ）（ｘ^(p-1)-ｘ^(p-2)ｙ+ｘ^(p-3)ｙ^2-・・・+ｙ^(p-1)）

＝（ｘ+ｙ）（ｘ＋ζｙ）（ｘ＋ζ^2ｙ）・・・（ｘ＋ζ^(p-1)ｙ）

となるが、1次式の積まで分解しなくても

ｘ^p+ｙ^p＝（ｘ+ｙ）（ｘ^(p-1)-ｘ^(p-2)ｙ+ｘ^(p-3)ｙ^2-・・・+ｙ^(p-1)）

＝（ｘ+ｙ）（A^2+pB^2)または＝（ｘ+ｙ）（A^2-pB^2)

となる半整数係数(p-1)/2次同次多項式A,Bが存在する。

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ｘ^3+ｙ^3＝(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-3)B)(A-√(-3)B)

ｘ^5+ｙ^5＝(x+y)(A^2-5B^2)=(x+y)(A+√5B)(A-√5)B)

ｘ^7+ｙ^7＝(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-7)B)(A-√(-7)B)

ｘ^11+ｙ^11＝(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-11)B)(A-√(-11)B)

ｘ^13+ｙ^13＝(x+y)(A^2-13B^2)=(x+y)(A+√13B)(A-√13)B)

ｘ^17+ｙ^17＝(x+y)(A^2-17B^2)=(x+y)(A+√17B)(A-√17)B)

ｘ^19+ｙ^19＝(x+y)(A^2+19B^2)=(x+y)(A+√(-19)B)(A-√(-19)B)

すなわち

ｐ＝4ｋ+3型素数ならば（ｘ+ｙ）（A^2+pB^2)

ｐ＝4ｋ+1型素数ならば（ｘ+ｙ）（A^2-pB^2)

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ζ=exp(2πi/3)のとき

F3(x,y)=(x+ζy)(x+ζ^2y)=x^2-xy+y^2=(A+√(-3)B)(A-√(-3)B)

(x+ζy)は(A+√(-3)B)型

(x+ζ^2y)は(A+√(-3)B)型

である。

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exp(2πi/5)のとき

F5(x,y)=(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)=(A+√5B)(A-√5B)となるように

(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)を2個ずつの組に分けたい。

ｙ^2の係数が1＝ζ^5になるようにすればいいから

(x+ζy)(x+ζ^4y)=x^2+(ζ+ζ^4)xy+y^2

(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)=x^2+(ζ^2+ζ^3)xy+y^2

(ζ+ζ^4)=(-1+√5)/2=(A+√5B)

(ζ^2+ζ^3)=(-1-√5)/2=(A-√5B)

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