ここではｘ^2の項の係数を０にする変数変換（カルダノ変換）によって，

　　ｕ^3＋ｐｕ＋ｑ＝０

の形にして，このｐ，ｑを用いた形で３次方程式の根の公式を与えましたが，２次方程式の場合と同様に「３次方程式の判別式」を使っても書くことができることを示しておきます．

　３次方程式をｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０とおいても，一般性は失われません（もし，ｘ^3の係数がａ≠１ならば，ａで両辺を割ればこの形になる）．この方程式の判別式は，

　　Ｄ＝−４ｃ^3−２７ｄ^2＋１８ｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ

　また，

　　Ｂ＝−２ｂ^3＋９ｂｃ−２７ｃ，

　　ｕ^3＝｛Ｂ＋３√（−３Ｄ）｝／２，

　　ｖ^3＝｛Ｂ−３√（−３Ｄ）｝／２

とおくと，ｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０の３根は，判別式Ｄを使って

　　ｘ1＝（−ｂ＋ｕ＋ｖ）／３，

　　ｘ2＝（−ｂ＋ω^2ｕ＋ωｖ）／３，

　　ｘ3＝（−ｂ＋ωｕ＋ω^2ｖ）／３

で与えられます．

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【補】判別式　

　３次方程式の判別式は，ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０の係数を代入して整理すると，

　　Ｄ＝−４ａｃ^3−２７ａ^2ｄ^2＋１８ａｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ

が得られるが，とても憶える気にならないし，また，憶えられる代物でもないであろう．ｆの次数が高い場合，その判別式を計算するのは容易ではない．ちなみに，５次方程式の判別式の項数は５９にもなるという．

　一方，ジラールの標準形であれば，判別式は簡単な形で表される．

　ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｐｘ＋ｑの判別式は

　　Ｄ＝−（４ｐ^3＋２７ｑ^2）

　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐｘ＋ｑの判別式は

　　Ｄ＝(-1)^(n(n-1)/2){(-n+1)^(n-1)p^n+n^nq^(n-1)}

　また，ｆの次数が高い場合の判別式は，重根をもつことは判定できても，実係数２次方程式のように実根，虚根，重根の判別ができるわけではない．たとえば，実係数３次方程式では，

　（Ｈ1）異なる３つの実数解をもつ

　（Ｈ2）３つの実数解をもつが重根が入っている

　（Ｈ3）１つの実数解と１組の共約な虚数解をもつ

のいずれかであるが，Ｄ＞０ならばＨ1，Ｄ＝０ならばＨ2，Ｄ＜０ならばＨ3である．また，３重解をもつための必要十分条件はＤ＝０，ｂ^2−３ａｃ＝０である．

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